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【摘 要】解题教学一直是中学数学教学的重点，数学家波利亚的“怎样解题表”是一部经典的“启发法小词典”，对怎样解题做出了系统的研究，波利亚的解题理论不仅指引了解题的思路，从中更体现出数学思维的重要性.本文将从解题教学过程中的具体实例出发浅谈数学思维的培养。
【关键词】解题教学;数学思维;培养
思维品质是思维发生和发展中所表現出来的个性差异，它是个体在思维活动中智力特征的表现，数学思维品质主要是指学生在数学学习过程中思维方式和思维习惯的个性化表现形式。数学教学过程中的解题教学是学生数学思维得以培养的重要途经，接下来将结合具体例题浅谈教学中数学思维广阔性、深刻性、灵活性的培养。
一、一题多解，培养思维的广阔性
思维的广阔性是指在思维活动中思路宽广，对一个问题可以多层次多角度地考虑，对一个题目能想出各种不同的解法，把握整体，同时抓住细节，即通常所说的“一题多解”。
【例1】已知x，y∈R+且满足x+y+3=xy，求xy的取值范围。
【分析】解法1：根据题目中出现的“x+y”与“xy”自然联想到均值不等式■≥■。
因为x，y∈R+，所以根据均值不等式有x+y≥2■，那么xy≥2■+3，
即（■）2-2■+3≥0，得到■≥3，从而xy的取值范围是xy≥9。
解法2：根据题目中的“x+y+3”联想到三元均值不等式■≥■。
因为x，y，3∈R+，所以根据三元均值不等式有x+y+3≥3■，那么xy≥3■，
即（xy）3≥81xy，得到xy的取值范围是xy≥9。
解法3：分析题目的条件与问题，要求xy的取值范围，可将xy二者中转化成为其中一个的函数，运用函数的思想求解。
由x+y+3=xy可得到y=■，从而xy=x·■=■=（x-1）+■+5≥2■+5=9（其中因为y>0，所以x>1）
解法4：令条件x+y+3=xy=k，则联想到方程，利用方程有解的条件从而得到xy的取值范围。
令x+y+3=xy=k，那么x+y=k-3。根据韦达定理构造出关于未知数m的一元二次方程m2-（k-3）m+k=0，并且该方程有两个正实数根x与y。
再根据一元二次方程与相应二次函数的关系，令f（m）=m2-（k-3）m+k，
则有△≥0■>0f（0）>0，得到k≥9，即xy的取值范围是xy≥9。
解法5：根据解法4的思路点拨，函数往往与图像相联系，故易联想到图像法，可以考虑利用数形结合的思想方法解答本题。
令x+y+3=xy=k，分别整理后得到两个函数y=-x+k-3（k>0）与y=■（k>0）。
前者的图像是一条直线，后者的图像是双曲线的一支，当二者有交点时，k存在;当二者图像相切时，k最小，切点为（■，■），代入x+y+3=xy得2■+3=k，此时k=9，■=-1（舍去），所以xy的取值范围是xy≥9。
二、深入分析，培养思维的深刻性
思维的深刻性是指思考问题时能够发现事物的实质、分清事物间相互关系与发现隐藏情况的能力，包括思维活动的广度、深度和难度。
【例2】已知m为有理数，且方程x2-4mx+4x+3m2-2m+
4k=0的根为有理数，求k的值。
【分析】首先考虑整理原方程为x2-4（m-1）x+3m2-2m+4k=0，
则整理后关于x方程的判别式为，
△1=[-4（m-1）]2-4（3m2-2m+4k）=4（m2-6m+4-4k），由于要求方程的根为有理数，所以只需△1=4（m2-6m+4-4k）为m的完全平方式。进一步分析若要使△1=4（m2-6m+4-4k）为m的完全平方式，则需要它的判别式△2=（-24）2-4×4×（-16k+16）=0，所以得k=-■。
本题通过深入分析，横向考虑方程、函数与不等式之间的联系，挖掘知识的内涵与外延，把握知识的精髓，进而培养思维的深刻性。
三、善于联想，培养思维的灵活性
数学思维的灵活性是指学生在解决数学问题时能够提出非习惯性的处理方法，并在应对新的解题条件时可以快速灵活地转换思路。
【例3】设（x，y）∈R+，求证：■+■>■。
【分析】观察待证不等式的结构，抓住其形式特点即■+■>■，容易联想到多个基础知识模型。
联想1：根据不等式左边的变形形式可以将其看作三点间的两边距离之和，即动点P（x，y）与两定点A（8，3）和B（2，-5）的距离之和，由三角不等式可以得出结论。
联想2：与联想1一样，以动点到两定点的距离和为线索，容易联想到椭圆的定义。视椭圆半长轴a可变，即a为参数，令■+■>2a（a∈R+）。此时2c=■=10，但在椭圆中2a>2c，故结论成立。进一步意味着结论还可以加强，即将■换成10，不等式仍然成立。
联想3：观察不等式左边的等价变形形式与复数模的形式有相似之处，故联想到利用复数不等式证明。令z1=（x-8）+（y-3）i，z2=（x-2）+（y+5）i，|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|-6-8i|=10>■，进而不等式得证。
根据新课程标准的基本理念“把握数学本质，启发思考，改进教学”中可以看出新课标对数学本质的强调，因此，在教学中教师应首先把握数学本质和教学本质，了解关于数学思维的理论知识，掌握数学思维的品质与特点，明确数学思维品质在学生数学学习过程中的重要性，才能在数学教学过程中，加强学生数学思维的培养。
【参考文献】
[1]陈永鑫.中学生数学思维品质培养[D].延边大学，2017
[2]席建芳.高中数学教学中培养学生思维能力的策略[J].现代农村科技，2014（23）：72
[3]刘艳平.浅析高中数学教学中对学生数学思维能力的培养[J].中国校外教育旬刊，2015（21）：136
（四川文理学院数学学院，四川 达州 635000）
【关键词】解题教学;数学思维;培养
思维品质是思维发生和发展中所表現出来的个性差异，它是个体在思维活动中智力特征的表现，数学思维品质主要是指学生在数学学习过程中思维方式和思维习惯的个性化表现形式。数学教学过程中的解题教学是学生数学思维得以培养的重要途经，接下来将结合具体例题浅谈教学中数学思维广阔性、深刻性、灵活性的培养。
一、一题多解，培养思维的广阔性
思维的广阔性是指在思维活动中思路宽广，对一个问题可以多层次多角度地考虑，对一个题目能想出各种不同的解法，把握整体，同时抓住细节，即通常所说的“一题多解”。
【例1】已知x，y∈R+且满足x+y+3=xy，求xy的取值范围。
【分析】解法1：根据题目中出现的“x+y”与“xy”自然联想到均值不等式■≥■。
因为x，y∈R+，所以根据均值不等式有x+y≥2■，那么xy≥2■+3，
即（■）2-2■+3≥0，得到■≥3，从而xy的取值范围是xy≥9。
解法2：根据题目中的“x+y+3”联想到三元均值不等式■≥■。
因为x，y，3∈R+，所以根据三元均值不等式有x+y+3≥3■，那么xy≥3■，
即（xy）3≥81xy，得到xy的取值范围是xy≥9。
解法3：分析题目的条件与问题，要求xy的取值范围，可将xy二者中转化成为其中一个的函数，运用函数的思想求解。
由x+y+3=xy可得到y=■，从而xy=x·■=■=（x-1）+■+5≥2■+5=9（其中因为y>0，所以x>1）
解法4：令条件x+y+3=xy=k，则联想到方程，利用方程有解的条件从而得到xy的取值范围。
令x+y+3=xy=k，那么x+y=k-3。根据韦达定理构造出关于未知数m的一元二次方程m2-（k-3）m+k=0，并且该方程有两个正实数根x与y。
再根据一元二次方程与相应二次函数的关系，令f（m）=m2-（k-3）m+k，
则有△≥0■>0f（0）>0，得到k≥9，即xy的取值范围是xy≥9。
解法5：根据解法4的思路点拨，函数往往与图像相联系，故易联想到图像法，可以考虑利用数形结合的思想方法解答本题。
令x+y+3=xy=k，分别整理后得到两个函数y=-x+k-3（k>0）与y=■（k>0）。
前者的图像是一条直线，后者的图像是双曲线的一支，当二者有交点时，k存在;当二者图像相切时，k最小，切点为（■，■），代入x+y+3=xy得2■+3=k，此时k=9，■=-1（舍去），所以xy的取值范围是xy≥9。
二、深入分析，培养思维的深刻性
思维的深刻性是指思考问题时能够发现事物的实质、分清事物间相互关系与发现隐藏情况的能力，包括思维活动的广度、深度和难度。
【例2】已知m为有理数，且方程x2-4mx+4x+3m2-2m+
4k=0的根为有理数，求k的值。
【分析】首先考虑整理原方程为x2-4（m-1）x+3m2-2m+4k=0，
则整理后关于x方程的判别式为，
△1=[-4（m-1）]2-4（3m2-2m+4k）=4（m2-6m+4-4k），由于要求方程的根为有理数，所以只需△1=4（m2-6m+4-4k）为m的完全平方式。进一步分析若要使△1=4（m2-6m+4-4k）为m的完全平方式，则需要它的判别式△2=（-24）2-4×4×（-16k+16）=0，所以得k=-■。
本题通过深入分析，横向考虑方程、函数与不等式之间的联系，挖掘知识的内涵与外延，把握知识的精髓，进而培养思维的深刻性。
三、善于联想，培养思维的灵活性
数学思维的灵活性是指学生在解决数学问题时能够提出非习惯性的处理方法，并在应对新的解题条件时可以快速灵活地转换思路。
【例3】设（x，y）∈R+，求证：■+■>■。
【分析】观察待证不等式的结构，抓住其形式特点即■+■>■，容易联想到多个基础知识模型。
联想1：根据不等式左边的变形形式可以将其看作三点间的两边距离之和，即动点P（x，y）与两定点A（8，3）和B（2，-5）的距离之和，由三角不等式可以得出结论。
联想2：与联想1一样，以动点到两定点的距离和为线索，容易联想到椭圆的定义。视椭圆半长轴a可变，即a为参数，令■+■>2a（a∈R+）。此时2c=■=10，但在椭圆中2a>2c，故结论成立。进一步意味着结论还可以加强，即将■换成10，不等式仍然成立。
联想3：观察不等式左边的等价变形形式与复数模的形式有相似之处，故联想到利用复数不等式证明。令z1=（x-8）+（y-3）i，z2=（x-2）+（y+5）i，|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|-6-8i|=10>■，进而不等式得证。
根据新课程标准的基本理念“把握数学本质，启发思考，改进教学”中可以看出新课标对数学本质的强调，因此，在教学中教师应首先把握数学本质和教学本质，了解关于数学思维的理论知识，掌握数学思维的品质与特点，明确数学思维品质在学生数学学习过程中的重要性，才能在数学教学过程中，加强学生数学思维的培养。
【参考文献】
[1]陈永鑫.中学生数学思维品质培养[D].延边大学，2017
[2]席建芳.高中数学教学中培养学生思维能力的策略[J].现代农村科技，2014（23）：72
[3]刘艳平.浅析高中数学教学中对学生数学思维能力的培养[J].中国校外教育旬刊，2015（21）：136
（四川文理学院数学学院，四川 达州 635000）