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【摘要】在《普通高中数学课程标准》中，关于“数系的扩充与复数的概念”是实际教学中难度比较高的一部分内容，针对于这部分内容，本文比较了人教A版与人教B版在课时安排和内容设计（包括“引入部分”和“概念部分”）上的异同之处，最后从概念引入、概念讲解、概念分类这三点提出教学建议.
【关键词】数系的扩充；复数的概念；人教A版；人教B版
2003年由国家教育部制定的《普通高中数学课程标准》关于“数系的扩充与复数的概念”的要求：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系，理解复数的代数表示法、基本概念即以复数相等的充要条件.
在学习这节课之前，学生已经学习了自然数、整数、有理数、实数的概念及运算，这些内容的学习为本节课的学习提供了基础.复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充.而本节课又为后边复数代数形式的四则运算学习提供了基础，同时，复数作为一种新的数学语言，也为今后用代数方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想.
一、对于 “数系的扩充与复数的概念” 人教A版与B版的设计比较
关于此内容，人教A版与人教B版在教学设计上存在如下几点异同.
1.课时安排
人教A版把“数系的扩充与复数的概念”整个设计成一小节内容，即标题为 ：“3.1.1数系的扩充与复数的概念”，也就是说教师在一节课内上完.而人教B版则把这部分内容设计成了两节课：“3.1.1实数系”和“3.1.2复数的概念”.这样教师可以分成两节课来上这部分内容.
在实际教学中，大多数老师认为人教B版的设计更为合理一些.因为“数系的扩充与复数的概念”包含两部分内容，无论是“数系的扩充”还是“复数的概念”都是非常重要的知识.若安排在一节课内上完，有的老师在介绍数系的扩充的时候就会三言两语带过，重点讲解复数的概念.这样学生对复数的引入就会觉得困惑，不清楚为什么要把实数系扩充到复数系，不符合学生的认知结构特点，显得较为突兀.若详细地向学生介绍数系的扩充，则就无时间重点讲解复数的概念.所以尽管大部分地区使用的都是人教A版教材，很多老师在实际教学中还是会把这节课一分为二，无论从时间或学生的角度来说按两次课来上更为合理.
2.内容设计
（1）引入部分
针对数系的扩充，两个版本的教材都未一条一条地将数系的扩充所遵循的原则介绍给学生，而是通过回顾自然数系扩充到实数系的过程，总结出每次扩充都是实际需要.
A版选取了x2 1=0这一在实数范围内无解的方程引发学生认知冲突，激发学生们把实数系进一步扩充的欲望和意义，类比自然数扩充到实数系的过程，引入虚数单位i，将实数系扩充，进入复数的学习中.
B版在“3.1.2复数的概念”中先回顾一元二次方程根的判别式与实数解的问题，然后引发学生认知冲突：“一元三次方程x3-x=0和x3-1=0在实数范围内，方程解的个数与方程次数的关系并不确定.”自然的想法是：“把实数系扩大，可否使二次方程都有两个解，三次方程都有三个解……”为了解决这个问题，引入一个新数i （虚数单位i2=1）.
这两个版本的引入部分从本质上来讲都是由解方程来引出复数的概念，具体说人教A版讨论x2 1=0解的问题更直接更明了，自然地得出进一步扩充实数域的需要.人教B版也涉及这一点，但后来是由讨论n次方程n个解的问题作为引出，比人教A版的做法略显复杂一下，相对学生来说不是那么容易一下明白.可能有学生会问：“为什么n次方程一定要有n个解呢？”
（2）概念部分
首先，A版和B版在这部分内容的设计上大体相同，教材通过介绍希望引进的虚数和实数之间仍能像实数系那样进行加减运算的设想，进而得出复数的代数表示形式：z=a bi （a，b∈R），其中a为复数z的实部，b为复数z的虚部，顺着规定了两个复数相等的充要条件让学生从直观感觉上对复数有初步认识.但两版教材都未对复数为什么不能像实数那样比较大小这一点做精述，但都在此为后面学习复数与向量的关系埋下了伏笔.
其次，通过讨论复数的代数形式自然地得出实数集R与复数集C之间的关系.之后为了及时巩固学生对知识的掌握情况，教材随即给出例题及习题部分针对复数的相关概念，复数相等的充要条件及复数的分类提出了较基础的题，也符合了《新课标》中“不偏不怪”的思想.
二、 对于“数系的扩充与复数的概念”的教学建议
1.概念引入
数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索.数系扩充过程体现了数学发现和创造，也体现数学发生、发展的客观需求.建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程（B版在这一点做的比较好），使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴含的数学和科学发展思想.回顾自然数系到实数系扩充的过程，学生可能对数系扩充的知识不是很了解，还需从数学史、数学文化等多方面加以引导.
16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40，他把答案写成=40，尽管他认为这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无缥缈的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40.
给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在《几何学》中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.
2.概念讲解
针对复数的代数形式z=a bi，由于之前学习代数方面的知识可能将bi当作虚部系数，在引导过程中需要潜移默化地强调这方面细节，对于两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，若两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小，由于中学生大部分较难理解相关原则，教学中对这一点不需要大范围展开.
3.概念分类
复数的概念是这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开.虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数的理解.
以问题为载体，以学生为活动主线“创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业”.在教学中学生是认知的主体，是教学的主体，更是课堂的主角，教学中的问题发生和解决过程都是他们在完成，因而应遵循学生的认知规律，尽可能地带动学生的积极性，让学生经历知识的形成与发展过程，并尽力带动学生的思维，使学生自己成为学习知识的主动者.同时引导学生走出学习概念的烦琐与困境，让学生学会学习，学会欣赏，学会探究.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.
[2]课程教材研究所，中学数学教材实验研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2 A版[M].北京：人民教育出版社，2005.
[3]课程教材研究所，中学数学教材实验研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2 B版[M].北京：人民教育出版社，2005.
【关键词】数系的扩充；复数的概念；人教A版；人教B版
2003年由国家教育部制定的《普通高中数学课程标准》关于“数系的扩充与复数的概念”的要求：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系，理解复数的代数表示法、基本概念即以复数相等的充要条件.
在学习这节课之前，学生已经学习了自然数、整数、有理数、实数的概念及运算，这些内容的学习为本节课的学习提供了基础.复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充.而本节课又为后边复数代数形式的四则运算学习提供了基础，同时，复数作为一种新的数学语言，也为今后用代数方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想.
一、对于 “数系的扩充与复数的概念” 人教A版与B版的设计比较
关于此内容，人教A版与人教B版在教学设计上存在如下几点异同.
1.课时安排
人教A版把“数系的扩充与复数的概念”整个设计成一小节内容，即标题为 ：“3.1.1数系的扩充与复数的概念”，也就是说教师在一节课内上完.而人教B版则把这部分内容设计成了两节课：“3.1.1实数系”和“3.1.2复数的概念”.这样教师可以分成两节课来上这部分内容.
在实际教学中，大多数老师认为人教B版的设计更为合理一些.因为“数系的扩充与复数的概念”包含两部分内容，无论是“数系的扩充”还是“复数的概念”都是非常重要的知识.若安排在一节课内上完，有的老师在介绍数系的扩充的时候就会三言两语带过，重点讲解复数的概念.这样学生对复数的引入就会觉得困惑，不清楚为什么要把实数系扩充到复数系，不符合学生的认知结构特点，显得较为突兀.若详细地向学生介绍数系的扩充，则就无时间重点讲解复数的概念.所以尽管大部分地区使用的都是人教A版教材，很多老师在实际教学中还是会把这节课一分为二，无论从时间或学生的角度来说按两次课来上更为合理.
2.内容设计
（1）引入部分
针对数系的扩充，两个版本的教材都未一条一条地将数系的扩充所遵循的原则介绍给学生，而是通过回顾自然数系扩充到实数系的过程，总结出每次扩充都是实际需要.
A版选取了x2 1=0这一在实数范围内无解的方程引发学生认知冲突，激发学生们把实数系进一步扩充的欲望和意义，类比自然数扩充到实数系的过程，引入虚数单位i，将实数系扩充，进入复数的学习中.
B版在“3.1.2复数的概念”中先回顾一元二次方程根的判别式与实数解的问题，然后引发学生认知冲突：“一元三次方程x3-x=0和x3-1=0在实数范围内，方程解的个数与方程次数的关系并不确定.”自然的想法是：“把实数系扩大，可否使二次方程都有两个解，三次方程都有三个解……”为了解决这个问题，引入一个新数i （虚数单位i2=1）.
这两个版本的引入部分从本质上来讲都是由解方程来引出复数的概念，具体说人教A版讨论x2 1=0解的问题更直接更明了，自然地得出进一步扩充实数域的需要.人教B版也涉及这一点，但后来是由讨论n次方程n个解的问题作为引出，比人教A版的做法略显复杂一下，相对学生来说不是那么容易一下明白.可能有学生会问：“为什么n次方程一定要有n个解呢？”
（2）概念部分
首先，A版和B版在这部分内容的设计上大体相同，教材通过介绍希望引进的虚数和实数之间仍能像实数系那样进行加减运算的设想，进而得出复数的代数表示形式：z=a bi （a，b∈R），其中a为复数z的实部，b为复数z的虚部，顺着规定了两个复数相等的充要条件让学生从直观感觉上对复数有初步认识.但两版教材都未对复数为什么不能像实数那样比较大小这一点做精述，但都在此为后面学习复数与向量的关系埋下了伏笔.
其次，通过讨论复数的代数形式自然地得出实数集R与复数集C之间的关系.之后为了及时巩固学生对知识的掌握情况，教材随即给出例题及习题部分针对复数的相关概念，复数相等的充要条件及复数的分类提出了较基础的题，也符合了《新课标》中“不偏不怪”的思想.
二、 对于“数系的扩充与复数的概念”的教学建议
1.概念引入
数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索.数系扩充过程体现了数学发现和创造，也体现数学发生、发展的客观需求.建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程（B版在这一点做的比较好），使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴含的数学和科学发展思想.回顾自然数系到实数系扩充的过程，学生可能对数系扩充的知识不是很了解，还需从数学史、数学文化等多方面加以引导.
16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40，他把答案写成=40，尽管他认为这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无缥缈的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40.
给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在《几何学》中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.
2.概念讲解
针对复数的代数形式z=a bi，由于之前学习代数方面的知识可能将bi当作虚部系数，在引导过程中需要潜移默化地强调这方面细节，对于两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，若两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小，由于中学生大部分较难理解相关原则，教学中对这一点不需要大范围展开.
3.概念分类
复数的概念是这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开.虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数的理解.
以问题为载体，以学生为活动主线“创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业”.在教学中学生是认知的主体，是教学的主体，更是课堂的主角，教学中的问题发生和解决过程都是他们在完成，因而应遵循学生的认知规律，尽可能地带动学生的积极性，让学生经历知识的形成与发展过程，并尽力带动学生的思维，使学生自己成为学习知识的主动者.同时引导学生走出学习概念的烦琐与困境，让学生学会学习，学会欣赏，学会探究.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.
[2]课程教材研究所，中学数学教材实验研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2 A版[M].北京：人民教育出版社，2005.
[3]课程教材研究所，中学数学教材实验研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2 B版[M].北京：人民教育出版社，2005.