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【摘要】本文对在教学过程中所遇到的：求等差数列前n项和及相关问题时，如果审题不清或概念模糊，掉进题设设置的各种“陷阱”造成的解题错误进行了初步的总结，意在与同行们进行交流，以便共同提高。
【关键词】陷阱；数列；忽视；错解
Defend"trap" Mo "neglect"
Cheng An-hui
【Abstract】This text rightness is in the teaching process meet of:Beg gradation front the few rows a n item with and related problem, if review not pure or concept misty, drop to result in into various"trap" for establish of solution mistake carry on first step of summary, idea at with go together carry on exchanges, in order to common exaltation.
【Key words】Trap；Few row；Neglect；Wrong solution
学生在学习等差数列前n项和时，如果审题不清或概念模糊，就容易掉进题设设置的各种“陷阱”中，造成解题错误，那怎样才能准确地识别试题设置的“陷阱”，并迅速避开，实现正确的解题呢？首先要正确理解基本概念，其次学会全面分析且灵活运用已知条件，重视限定条件，克服定势思维，养成对结果验证的习惯。就此以等差数列前n项和存在的“陷阱”进行分类解析。
一、忽视an与Sn的关系中n≥2
例1：已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1(n∈N*)求a1+a3+a5+……+a21的值
错解：由公式an=sn-sn-1,得an=2n+2,所以，a1=4,a3=8,……，a21=44,故a1+a3+a5+……a21=4+8+12+……+44=11×（4+44）2 =264。
剖析：上述解法在运用an=sn-sn-1时，忽视了公式的适用范围n≥2，从而误认为{a2n-1}是等差数列。
正解：因为a1=s1=5,故数列{a2n-1}从第二项起，即a3、a5……a21为等差数列，所以a1+a3+a5+……+a21=265。
二、忽视等差数列的前n项和公式的特点
例2：已和等差数到{an}和{bn}的前n项之和分别为sn和Tn，且对一切正整数n都有SnTn = 5n+32n+7 ,试求a9b9 的值。
错解：设Sn=(5n+3)K,Tn=(2n+7)K,于是a9=s9-s8=(5×9+3)k-(5×8+3)k=5k。
b9=T9-T8=(2×9+7)k-(2×8+7)k=2k。
故a9b9 = 52
剖析：上述解法错误在利用SnTn =5n+32n+7 时，设sn=(5n+3)k,Tn=(2n+7)k的过程中错误地把k认为是与n无关的常数，事实上，等差数列的前n项和公式sn=na,+ 12 （n-1）nd是关于n的二次函数，且常数项为0。
正解：设sn=（5n+3）nk，Tn=(2n+7)nk，由此防照上法不难求得a9b9 =8841 。
或者利用等差数列的中项性质，则可得，速求解
a9b9 =a1+a172 ×17b1+b112 ×17 =S17T17 =5×17+32×17+7 =8841
三、忽视项为零的情况
例3，在等差数列{an}中，已知a1=20，前n项为Sn,且S10=S15,求当n取何值时，Sn有最大值，并求它的最大值。
错解：设公差为d，则由S10=S15，得
10×20+10×92 ×d=15×20+15×142 ×d 即d=-53
所以an=-53 n+653 ，由an=-53 n+653 ＞0
解得n＜13,故当n=12时，S12最大，最大值为130
剖析：上述的解法，忽视了a13=0的情况。
an=-53 n+653 ≥0
正解：
an+1=—53 (n+1)+653 ≤0
解得12≤n≤13。
由此可知，当n=12,或n=13时，Sn有最大值，为130
四、忽视项数满足的条件
例4，在等差数列{an}中，a2=3,an=12,sn=30，求公差d
错解：由已知，得a2-d=a1
an=a2-d+(n-1)d
因为：sn= (a2-d)+an2 ×n
所以：60=[（3-d）+12]n ①
又 12=(3-d)+(n-1)d②
①、②联立消去n，得2d2+39d-135=0,解得d=3或d=-452
剖析：在解数列问题时，若n值未知，不论是求d,还是求其他元素，如a1,an,sn，都要先求出n的值，只有当n∈N*时，问题才有意义，这是数列及其通项公式an=f(n)的特点。
正解：若d=-452 ,代入sn，解出n=85 ∈N*,应舍去，经检验,d=3为所求。
结束语
大凡高中数学教师，在教学过程中对以上类型题虽重点强调过，但在批改作业或试卷时，类似错误仍然发生，这就是我多年来在教学过程深刻体验到的一则。
参考文献
[1]高考一轮总复习•数学/张连生主编——天津：天津人民出版社，2007.3（2010.3重印）——名师伴你行。
收稿日期：2010-12-12
【关键词】陷阱；数列；忽视；错解
Defend"trap" Mo "neglect"
Cheng An-hui
【Abstract】This text rightness is in the teaching process meet of:Beg gradation front the few rows a n item with and related problem, if review not pure or concept misty, drop to result in into various"trap" for establish of solution mistake carry on first step of summary, idea at with go together carry on exchanges, in order to common exaltation.
【Key words】Trap；Few row；Neglect；Wrong solution
学生在学习等差数列前n项和时，如果审题不清或概念模糊，就容易掉进题设设置的各种“陷阱”中，造成解题错误，那怎样才能准确地识别试题设置的“陷阱”，并迅速避开，实现正确的解题呢？首先要正确理解基本概念，其次学会全面分析且灵活运用已知条件，重视限定条件，克服定势思维，养成对结果验证的习惯。就此以等差数列前n项和存在的“陷阱”进行分类解析。
一、忽视an与Sn的关系中n≥2
例1：已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1(n∈N*)求a1+a3+a5+……+a21的值
错解：由公式an=sn-sn-1,得an=2n+2,所以，a1=4,a3=8,……，a21=44,故a1+a3+a5+……a21=4+8+12+……+44=11×（4+44）2 =264。
剖析：上述解法在运用an=sn-sn-1时，忽视了公式的适用范围n≥2，从而误认为{a2n-1}是等差数列。
正解：因为a1=s1=5,故数列{a2n-1}从第二项起，即a3、a5……a21为等差数列，所以a1+a3+a5+……+a21=265。
二、忽视等差数列的前n项和公式的特点
例2：已和等差数到{an}和{bn}的前n项之和分别为sn和Tn，且对一切正整数n都有SnTn = 5n+32n+7 ,试求a9b9 的值。
错解：设Sn=(5n+3)K,Tn=(2n+7)K,于是a9=s9-s8=(5×9+3)k-(5×8+3)k=5k。
b9=T9-T8=(2×9+7)k-(2×8+7)k=2k。
故a9b9 = 52
剖析：上述解法错误在利用SnTn =5n+32n+7 时，设sn=(5n+3)k,Tn=(2n+7)k的过程中错误地把k认为是与n无关的常数，事实上，等差数列的前n项和公式sn=na,+ 12 （n-1）nd是关于n的二次函数，且常数项为0。
正解：设sn=（5n+3）nk，Tn=(2n+7)nk，由此防照上法不难求得a9b9 =8841 。
或者利用等差数列的中项性质，则可得，速求解
a9b9 =a1+a172 ×17b1+b112 ×17 =S17T17 =5×17+32×17+7 =8841
三、忽视项为零的情况
例3，在等差数列{an}中，已知a1=20，前n项为Sn,且S10=S15,求当n取何值时，Sn有最大值，并求它的最大值。
错解：设公差为d，则由S10=S15，得
10×20+10×92 ×d=15×20+15×142 ×d 即d=-53
所以an=-53 n+653 ，由an=-53 n+653 ＞0
解得n＜13,故当n=12时，S12最大，最大值为130
剖析：上述的解法，忽视了a13=0的情况。
an=-53 n+653 ≥0
正解：
an+1=—53 (n+1)+653 ≤0
解得12≤n≤13。
由此可知，当n=12,或n=13时，Sn有最大值，为130
四、忽视项数满足的条件
例4，在等差数列{an}中，a2=3,an=12,sn=30，求公差d
错解：由已知，得a2-d=a1
an=a2-d+(n-1)d
因为：sn= (a2-d)+an2 ×n
所以：60=[（3-d）+12]n ①
又 12=(3-d)+(n-1)d②
①、②联立消去n，得2d2+39d-135=0,解得d=3或d=-452
剖析：在解数列问题时，若n值未知，不论是求d,还是求其他元素，如a1,an,sn，都要先求出n的值，只有当n∈N*时，问题才有意义，这是数列及其通项公式an=f(n)的特点。
正解：若d=-452 ,代入sn，解出n=85 ∈N*,应舍去，经检验,d=3为所求。
结束语
大凡高中数学教师，在教学过程中对以上类型题虽重点强调过，但在批改作业或试卷时，类似错误仍然发生，这就是我多年来在教学过程深刻体验到的一则。
参考文献
[1]高考一轮总复习•数学/张连生主编——天津：天津人民出版社，2007.3（2010.3重印）——名师伴你行。
收稿日期：2010-12-12