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古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，而“一切数均可表成整数或整数之比”。学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，这就是数学史上的最著名的悖论之一，西方也因为经历了这样的悖论，产生了辉煌的近代数学。而此时的中国数学基本上还停留在算学阶段，可以说悖论就是新知识的生长点、逻辑推理能力的推进剂、抽象思维的训练场，在数学的教学中就如同智慧的“小辣椒”，时不时让学生“左右为难”一下，在“辣”尽甘来之时，数学意识可谓已根深蒂固，这样对悖论的使用未尝不是一种教学策略。本文就对这一策略的使用作一探讨。
一、 在似是而非情景中突破旧思维寻找新途径
悖论（paradox）字面上解释就是似是而非的意思，真正的悖论是：假定A正确可以推出A错误的结果，假定A错误又可以推出A正确的结果，A正确还是错误叫人左右为难。本文不去讨论怎样才属于真正的悖论，悖论总是在不断的提出又不断的消解的，正是在消解悖论的过程中知识得以发展、完善。从这个意义上说也许根本就没有真正的悖论，重要的是这种以之矛戳之盾的思考方法，经常用来寻找正确的解答方向。例如： 如图，已知AD是△ABC的∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF∥DA ，交CA的延长线于F，交AB于E.(1)求证:BE=CF.。很多同学说要证明△BEM≌△CEF，我让同学们做了一段时间，后来有同学提出这个方向是走不通的，题目当中对BA与CA的长度没有限制，把原图作一变化，如果BA=CA，M与D两个点将重合，E与A与F也将重合为一点，（如下图所示）
△CEF退化为一条线段！这使△BEM≌△CEF根本不可能。看来需要添加辅助线来证明，只要延长EM到H，使EM=MH，连接CH，解题就很容易了,也不会出现△CEF退化为一条线段的悖论。在寻找解题方向的过程中，学生更巩固了等腰三角形的性质，还学会了利用假设推出矛盾的结果，重要的是学生有了逻辑证明的数学意识，获得了初步的推理能力。
二、把握无穷的规律，培养数感
问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪个？
这是一个典型的无穷倒退悖论，永远也不知道先出现的是鸡还是蛋？数学中也有这种无穷嵌套的结构，教学中也不妨一试，在培养学生把握规律的能力上可以收到奇效。请看下面例子： ：证明1+=，学生初一看到这个等式十分复杂，简直无从下手。提示说：等式左面与等式右面的式子均为无穷的相似结构，有了灵感。气氛也活跃起来，有同学找出:如果令1+=a，由式子的无穷性，分母中的项值也为a，即1+=a，或者：=a，接下来的推理就是水到渠成的事情了。对无穷嵌套的处理是后续学习的基础，学生对这类问题一直有畏惧感，而这又是将来学习无穷级数的基本能力，对于无穷变化规律的把握，并用简单的字母以方程的形式揭露出规律，使繁杂的无穷的数字表示式得到简化。
三、 从悖论中巩固概念
一个唱片商店里。卖30张老式硬唱片、一块钱卖两张，另外30张新唱片是一块钱卖3张。第一天，唱片全卖完了。第二天老板想何必要自找麻烦来分唱片？就把60张唱按两块钱5张来卖？结果却少得到一块钱。这是个经典悖论，在讲分式的性质时作为了引入，效果甚佳，同学们很有兴趣，有人列出算式：设老唱片为一块钱a张共有c张，新唱片一块钱b张共有d张，则卖出（c+d）张合在一起的唱片为两块钱（a+b）,即比较分式与分式的大小，当c=d=30时，只有a=b的情况下第二天能与第一天持平，其他情况都会赔！这种贴近生活的例子巩固了学生对等式性质的运用，加深了对分式概念的理解。
四、 用悖论的方法催生新知识的建构
如今，要从数学理论中找到悖论绝非易事！但这种催生新知识的方法在教学中是值得一用的。例如：在讲“ =a”时，有这样一种教学方式就很有意思，
板书：
∴3=5.显然不可能！错在那里？学生终于找到问题出在第3步到第4步的推理上！概念的理解也被加深了，学生今后就会在用根号去掉平方号的过程保持谨慎，这种能力也会迁移许多问题上，比如x/x与1有什么不同？站在培养学生发现问题增长新知识这个角度上，悖论能快速激起学生解决问题的兴趣，不失为一种很好的引入。
悖论是一种思辩的方法，是提出问题的一种方式，本文相信悖论是数学智慧的小辣椒，增进数学学习的调味品，是一种批判的方法，教师研究研究悖论，教一点悖论是很有必要的事。
悖论是一种思辩的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消解悖论，在消解悖论的过程中提高认知水平。以个人的认知为一个知识集合，这个集合越小，理论上在他的认知范围内遇到悖论的机会就越多，而用悖论来把旧的知识与新学到的知识有机的结合，是巩固新知识的一种最牢固的方法之一，教学中常常因为悖论的思考复杂性而弃置不用，本文相信悖论的使用不仅不会增加难度反而使问题更富趣味性、和研究性，更有利于激发学生学习潜能，符合当代教育走向，是数学智慧的小辣椒，增进数学学习的调味品，是一种批判的方法，总结悖论的本质，笔者认为就是：用已有理论的推理反作用于理论本身。从这个意义上说没有悖论的数学学习是危险的，没有悖论思想的数学教学是苍白的！难怪那么多的数学家也同时是悖论大师， 悖论不是目的，以悖论为手段学会创新才是目标，可见教师研究研究悖论，教一点悖论是很有必要的事。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
一、 在似是而非情景中突破旧思维寻找新途径
悖论（paradox）字面上解释就是似是而非的意思，真正的悖论是：假定A正确可以推出A错误的结果，假定A错误又可以推出A正确的结果，A正确还是错误叫人左右为难。本文不去讨论怎样才属于真正的悖论，悖论总是在不断的提出又不断的消解的，正是在消解悖论的过程中知识得以发展、完善。从这个意义上说也许根本就没有真正的悖论，重要的是这种以之矛戳之盾的思考方法，经常用来寻找正确的解答方向。例如： 如图，已知AD是△ABC的∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF∥DA ，交CA的延长线于F，交AB于E.(1)求证:BE=CF.。很多同学说要证明△BEM≌△CEF，我让同学们做了一段时间，后来有同学提出这个方向是走不通的，题目当中对BA与CA的长度没有限制，把原图作一变化，如果BA=CA，M与D两个点将重合，E与A与F也将重合为一点，（如下图所示）
△CEF退化为一条线段！这使△BEM≌△CEF根本不可能。看来需要添加辅助线来证明，只要延长EM到H，使EM=MH，连接CH，解题就很容易了,也不会出现△CEF退化为一条线段的悖论。在寻找解题方向的过程中，学生更巩固了等腰三角形的性质，还学会了利用假设推出矛盾的结果，重要的是学生有了逻辑证明的数学意识，获得了初步的推理能力。
二、把握无穷的规律，培养数感
问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪个？
这是一个典型的无穷倒退悖论，永远也不知道先出现的是鸡还是蛋？数学中也有这种无穷嵌套的结构，教学中也不妨一试，在培养学生把握规律的能力上可以收到奇效。请看下面例子： ：证明1+=，学生初一看到这个等式十分复杂，简直无从下手。提示说：等式左面与等式右面的式子均为无穷的相似结构，有了灵感。气氛也活跃起来，有同学找出:如果令1+=a，由式子的无穷性，分母中的项值也为a，即1+=a，或者：=a，接下来的推理就是水到渠成的事情了。对无穷嵌套的处理是后续学习的基础，学生对这类问题一直有畏惧感，而这又是将来学习无穷级数的基本能力，对于无穷变化规律的把握，并用简单的字母以方程的形式揭露出规律，使繁杂的无穷的数字表示式得到简化。
三、 从悖论中巩固概念
一个唱片商店里。卖30张老式硬唱片、一块钱卖两张，另外30张新唱片是一块钱卖3张。第一天，唱片全卖完了。第二天老板想何必要自找麻烦来分唱片？就把60张唱按两块钱5张来卖？结果却少得到一块钱。这是个经典悖论，在讲分式的性质时作为了引入，效果甚佳，同学们很有兴趣，有人列出算式：设老唱片为一块钱a张共有c张，新唱片一块钱b张共有d张，则卖出（c+d）张合在一起的唱片为两块钱（a+b）,即比较分式与分式的大小，当c=d=30时，只有a=b的情况下第二天能与第一天持平，其他情况都会赔！这种贴近生活的例子巩固了学生对等式性质的运用，加深了对分式概念的理解。
四、 用悖论的方法催生新知识的建构
如今，要从数学理论中找到悖论绝非易事！但这种催生新知识的方法在教学中是值得一用的。例如：在讲“ =a”时，有这样一种教学方式就很有意思，
板书：
∴3=5.显然不可能！错在那里？学生终于找到问题出在第3步到第4步的推理上！概念的理解也被加深了，学生今后就会在用根号去掉平方号的过程保持谨慎，这种能力也会迁移许多问题上，比如x/x与1有什么不同？站在培养学生发现问题增长新知识这个角度上，悖论能快速激起学生解决问题的兴趣，不失为一种很好的引入。
悖论是一种思辩的方法，是提出问题的一种方式，本文相信悖论是数学智慧的小辣椒，增进数学学习的调味品，是一种批判的方法，教师研究研究悖论，教一点悖论是很有必要的事。
悖论是一种思辩的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消解悖论，在消解悖论的过程中提高认知水平。以个人的认知为一个知识集合，这个集合越小，理论上在他的认知范围内遇到悖论的机会就越多，而用悖论来把旧的知识与新学到的知识有机的结合，是巩固新知识的一种最牢固的方法之一，教学中常常因为悖论的思考复杂性而弃置不用，本文相信悖论的使用不仅不会增加难度反而使问题更富趣味性、和研究性，更有利于激发学生学习潜能，符合当代教育走向，是数学智慧的小辣椒，增进数学学习的调味品，是一种批判的方法，总结悖论的本质，笔者认为就是：用已有理论的推理反作用于理论本身。从这个意义上说没有悖论的数学学习是危险的，没有悖论思想的数学教学是苍白的！难怪那么多的数学家也同时是悖论大师， 悖论不是目的，以悖论为手段学会创新才是目标，可见教师研究研究悖论，教一点悖论是很有必要的事。
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