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在项目学习实验教材的编写过程中，数学学科的羁绊源于数学知识的逻辑性。数学学科知识的逻辑性，与完成项目时所需的灵活性和综合性成为一对矛盾。如何解决这一矛盾，实现项目化学习，需要解放思想，需要实验，需要理性的分析，树立新的科学学习理念。下面以“一元一次方程”为例进行探讨。
“一元一次方程”的学习一定是基于“有理数的运算”及“整式的加减”，即初一的学生在学习了这两章内容之后才学习“一元一次方程”。在“一元一次方程”这一章中，首先要介绍其概念，接着要学习等式的性质（或方程变形的性质）。
等式（或方程）两边都加上或减去同一个数或同一个整式，等式（或方程的解）不变。
等式（或方程）两边都乘以或除以同一个不为零的数，等式（或方程的解）不变。
在具体到求方程的解时，不论是否明确给出解法的名称，都是按照由易到难的顺序安排，即系数化为1，合并同类项与移项，去括号，去分母。因此在传统的教材中一元一次方程的编排结构如图1所示。
在学习解方程的过程中，先学习最简单的，即系数化为1，然后由易到难。而学生在解复杂的一元一次方程时，则反其道而行之，先去分母，再去括号，再移项、合并同类项，最后将系数化为1。这种转化的过程，体现了化难为易、化繁为简的策略。这样的学习程序及对应的解题顺序是经典的、传统的、良构的，体现了数学的简洁美和逻辑美。
但是这种严谨的结构制约了项目化学习的实现。能不能有所改变呢？
打破上述研究的结构，基于乘法的意义解“一元一次方程”，这是与一位五年级学生的实验。五年级学生具备的与“一元一次方程”对应的基础是：乘法、除法、分数的意义，分数与除法的关系，简单的字母表示数，分式的简单运算，简单的一元一次方程的解法等。
基于这样的基础，在解复杂的一元一次方程时，如何分析转化，理解每一步的合理性呢？下面以具体事例解释。
如图2 ，这是一个源自初中教材中的题目。图中的解法是五年级的同学给出的。在解这个题目时，该同学已经练习解过多道题目，所以解此题时已经比较顺利。从图中可以看得出，步骤间距比较小，所以比较长，这是五年级学生的思维决定的。
该方程两边的分母不一致，所以首先要通分，这是五年级学生会做的。第二步，去分母，但该生还没有学过去分母，因此她依据分数与除法的关系，将分式先转化为除法，再依据她学习过的等式的性质，两边同乘以一个数，最终达成去分母的目标。第三步，移项，五年级学生已经学习过，而且比较熟练，因此，此处她省略掉一步，即14x-10 10=3 10，而直接得到14x=3 10。第四步，合并，本题中只涉及到数的合并，所以轻而易举地完成。第五步，系数化为1，这是小学学习过的。
对于合并，还会遇到不同类型的问题。比如图3中的6x 10.5x，图4中的16x-30x，要回到乘法的意义，然后利用加法对乘法的分配律求解。根据乘法的意义，“6x”即6个x，其他同理。因此“6个x”加“10.5个x”就是（6 10.5）个x，于是就有了6x 10.5x=（6 10.5）x，事实上就是加法对乘法的分配律的逆用，并且是在代数式中的应用，从具体数字运算的分配律到式的运算的分配律，并且是逆用，这都是基于对乘法意义的理解和灵活应用，这是一个难点，也是一个突破。
至于16x-30x=（16-30）x，五年级学生已经学习了负数的初步知识，稍加引导即可求解。
在该同学学习解一元一次方程的过程中，并没有按照由易到难的顺序安排，而是直接进入复杂问题。在转化策略的指导下，依据她的已有知识和经验，不断地将复杂问题转化为简单问题求解。
在前期学习过程中，还遇到过非常有趣的方程，但是都能用她所学过的知识加以解释，并最终解决。这样做最大的益处是提高了学生分析问题的能力。
该实验打破了图1的教学结构，但是看得出在求解过程中，该生的心理过程与结构是高度一致的。这说明，传统教材中的编排结构是符合学生的认知规律的，是经典的。但是这种经典的结构是否要用与之对应的经典的过程转移给学生呢？该实验表明，换一种方式也可以达成同样的目标。
项目学习实验教材的编写依据首先是课程标准。2011版《义务教育数学课程标准》对“一元一次方程”的要求是：
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
2.经历估计方程解的过程。
3.掌握等式的基本性质。
4.能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。
对课标这样的要求，如何通过项目化学习实现呢？可以通过如下三步实现。
第一，将实际问题（即项目中的驱动问题）转化为方程问题，体会方程中蕴含的模型思想，并解释解方程的必要性。
第二，学生基于已有的知识经验自主探究解方程（一元一次方程），从而达到对具体问题的解决，完成关于实际问题的项目。
第三，提炼该项目中的数学元素，包括给出一元一次方程的概念，明确其定义，并归纳、概括求解策略和求解步骤，梳理求解依据，并进行适量训练，以巩固基本知识，熟练基本技能。
于是项目化学习中“一元一次方程”的编排结构应该如图5所示。
图5与图1相比，有如下特点。
第一，学生探究的空间较大，没有固定的规则与程式，学生的活动是基于基本知识进行分析转化，因此有利于学生进行相对完整的活动。对教材编写的要求设计好问题串，引导学生进行探究。
第二，整体输入和输出，以解决问题为主，注重策略的指导，但是不削弱数学的基本知识和技能。
第三，具有“双项目化”的功能，学生完成了一个实际问题的项目，在此基础上提出数学问题，通过抽象概括，梳理数学知识，并巩固应用，又是一个纯数学的项目实施过程。但这个纯数学的项目不是抽象的，有实际问题的项目奠基，学生在此处学习时，对其必要性和重要性的认识更深刻，因此有助于激发学生数学学习的热情。 第四，能有效地提高学生分析问题、解决问题的能力。
第五，能实现课程标准的要求。
一个实验似乎有些单薄，证据不足，但是这个案例也说明这种方法的可行性。囿于传统的经典的知识结构，是难以做出真正的项目的，所以编写项目学习实验教材关键是要“破”，破其外壳，存其内涵，以项目承载，以科学思想主宰。
基于意义的学习，是指基于概念的基本意义进行学习。从上述案例的分析可见，树立基于意义的学习的理念才能突破传统观念的束缚，才能实现项目学习。
基于意义的学习与基于规则的学习有什么异同呢？
传统结构对应的学习顺序，是先学规则，如等式的性质等，再应用规则解决问题，这是基于规则的学习。基于意义的学习，则跳过规则，直接根据概念的意义进行分析。
概念是基本的思维单位，是思维的起点，规则是由概念推演得出的。基于规则学习的优势是简洁，不足是其学习过程是“执行”命令。基于意义学习的优势是创新，不足是费时较多，但这样的学习正符合《义务教育数学课程标准》（2011版）提出的学生“应有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，特别是十大核心素养中指出的“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”。
基于意义的学习过程，由于没有既定的规则和程序要求，因此是“一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”，学生能更多地“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识” 。
如何实现基于意义的学习呢？
首先，要改变学生的学习价值观，学生的学习更重要的是成长，而不是收集装载知识技能。知识技能是载体，但不是最后的目标。
其次，要通过实验，寻求基于意义的数学教材“新结构”，在这个过程中，要勇于否定自我。
再次，寻找到适合项目学习的结构之后，要设计“任务群”，将“新结构”付诸现实，而且是面对学生群体学习的现实。
做好这三点，相信项目学习将实施得更好。
项目学习实验教材的编写是探索创新，因此需要有探索创新品质的人，更需要有探索创新本质的案例支撑，让一个个案例为项目学习搭起天梯，成就学生的幸福人生。
“一元一次方程”的学习一定是基于“有理数的运算”及“整式的加减”，即初一的学生在学习了这两章内容之后才学习“一元一次方程”。在“一元一次方程”这一章中，首先要介绍其概念，接着要学习等式的性质（或方程变形的性质）。
等式（或方程）两边都加上或减去同一个数或同一个整式，等式（或方程的解）不变。
等式（或方程）两边都乘以或除以同一个不为零的数，等式（或方程的解）不变。
在具体到求方程的解时，不论是否明确给出解法的名称，都是按照由易到难的顺序安排，即系数化为1，合并同类项与移项，去括号，去分母。因此在传统的教材中一元一次方程的编排结构如图1所示。
在学习解方程的过程中，先学习最简单的，即系数化为1，然后由易到难。而学生在解复杂的一元一次方程时，则反其道而行之，先去分母，再去括号，再移项、合并同类项，最后将系数化为1。这种转化的过程，体现了化难为易、化繁为简的策略。这样的学习程序及对应的解题顺序是经典的、传统的、良构的，体现了数学的简洁美和逻辑美。
但是这种严谨的结构制约了项目化学习的实现。能不能有所改变呢？
打破上述研究的结构，基于乘法的意义解“一元一次方程”，这是与一位五年级学生的实验。五年级学生具备的与“一元一次方程”对应的基础是：乘法、除法、分数的意义，分数与除法的关系，简单的字母表示数，分式的简单运算，简单的一元一次方程的解法等。
基于这样的基础，在解复杂的一元一次方程时，如何分析转化，理解每一步的合理性呢？下面以具体事例解释。
如图2 ，这是一个源自初中教材中的题目。图中的解法是五年级的同学给出的。在解这个题目时，该同学已经练习解过多道题目，所以解此题时已经比较顺利。从图中可以看得出，步骤间距比较小，所以比较长，这是五年级学生的思维决定的。
该方程两边的分母不一致，所以首先要通分，这是五年级学生会做的。第二步，去分母，但该生还没有学过去分母，因此她依据分数与除法的关系，将分式先转化为除法，再依据她学习过的等式的性质，两边同乘以一个数，最终达成去分母的目标。第三步，移项，五年级学生已经学习过，而且比较熟练，因此，此处她省略掉一步，即14x-10 10=3 10，而直接得到14x=3 10。第四步，合并，本题中只涉及到数的合并，所以轻而易举地完成。第五步，系数化为1，这是小学学习过的。
对于合并，还会遇到不同类型的问题。比如图3中的6x 10.5x，图4中的16x-30x，要回到乘法的意义，然后利用加法对乘法的分配律求解。根据乘法的意义，“6x”即6个x，其他同理。因此“6个x”加“10.5个x”就是（6 10.5）个x，于是就有了6x 10.5x=（6 10.5）x，事实上就是加法对乘法的分配律的逆用，并且是在代数式中的应用，从具体数字运算的分配律到式的运算的分配律，并且是逆用，这都是基于对乘法意义的理解和灵活应用，这是一个难点，也是一个突破。
至于16x-30x=（16-30）x，五年级学生已经学习了负数的初步知识，稍加引导即可求解。
在该同学学习解一元一次方程的过程中，并没有按照由易到难的顺序安排，而是直接进入复杂问题。在转化策略的指导下，依据她的已有知识和经验，不断地将复杂问题转化为简单问题求解。
在前期学习过程中，还遇到过非常有趣的方程，但是都能用她所学过的知识加以解释，并最终解决。这样做最大的益处是提高了学生分析问题的能力。
该实验打破了图1的教学结构，但是看得出在求解过程中，该生的心理过程与结构是高度一致的。这说明，传统教材中的编排结构是符合学生的认知规律的，是经典的。但是这种经典的结构是否要用与之对应的经典的过程转移给学生呢？该实验表明，换一种方式也可以达成同样的目标。
项目学习实验教材的编写依据首先是课程标准。2011版《义务教育数学课程标准》对“一元一次方程”的要求是：
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
2.经历估计方程解的过程。
3.掌握等式的基本性质。
4.能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。
对课标这样的要求，如何通过项目化学习实现呢？可以通过如下三步实现。
第一，将实际问题（即项目中的驱动问题）转化为方程问题，体会方程中蕴含的模型思想，并解释解方程的必要性。
第二，学生基于已有的知识经验自主探究解方程（一元一次方程），从而达到对具体问题的解决，完成关于实际问题的项目。
第三，提炼该项目中的数学元素，包括给出一元一次方程的概念，明确其定义，并归纳、概括求解策略和求解步骤，梳理求解依据，并进行适量训练，以巩固基本知识，熟练基本技能。
于是项目化学习中“一元一次方程”的编排结构应该如图5所示。
图5与图1相比，有如下特点。
第一，学生探究的空间较大，没有固定的规则与程式，学生的活动是基于基本知识进行分析转化，因此有利于学生进行相对完整的活动。对教材编写的要求设计好问题串，引导学生进行探究。
第二，整体输入和输出，以解决问题为主，注重策略的指导，但是不削弱数学的基本知识和技能。
第三，具有“双项目化”的功能，学生完成了一个实际问题的项目，在此基础上提出数学问题，通过抽象概括，梳理数学知识，并巩固应用，又是一个纯数学的项目实施过程。但这个纯数学的项目不是抽象的，有实际问题的项目奠基，学生在此处学习时，对其必要性和重要性的认识更深刻，因此有助于激发学生数学学习的热情。 第四，能有效地提高学生分析问题、解决问题的能力。
第五，能实现课程标准的要求。
一个实验似乎有些单薄，证据不足，但是这个案例也说明这种方法的可行性。囿于传统的经典的知识结构，是难以做出真正的项目的，所以编写项目学习实验教材关键是要“破”，破其外壳，存其内涵，以项目承载，以科学思想主宰。
基于意义的学习，是指基于概念的基本意义进行学习。从上述案例的分析可见，树立基于意义的学习的理念才能突破传统观念的束缚，才能实现项目学习。
基于意义的学习与基于规则的学习有什么异同呢？
传统结构对应的学习顺序，是先学规则，如等式的性质等，再应用规则解决问题，这是基于规则的学习。基于意义的学习，则跳过规则，直接根据概念的意义进行分析。
概念是基本的思维单位，是思维的起点，规则是由概念推演得出的。基于规则学习的优势是简洁，不足是其学习过程是“执行”命令。基于意义学习的优势是创新，不足是费时较多，但这样的学习正符合《义务教育数学课程标准》（2011版）提出的学生“应有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，特别是十大核心素养中指出的“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”。
基于意义的学习过程，由于没有既定的规则和程序要求，因此是“一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”，学生能更多地“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识” 。
如何实现基于意义的学习呢？
首先，要改变学生的学习价值观，学生的学习更重要的是成长，而不是收集装载知识技能。知识技能是载体，但不是最后的目标。
其次，要通过实验，寻求基于意义的数学教材“新结构”，在这个过程中，要勇于否定自我。
再次，寻找到适合项目学习的结构之后，要设计“任务群”，将“新结构”付诸现实，而且是面对学生群体学习的现实。
做好这三点，相信项目学习将实施得更好。
项目学习实验教材的编写是探索创新，因此需要有探索创新品质的人，更需要有探索创新本质的案例支撑，让一个个案例为项目学习搭起天梯，成就学生的幸福人生。