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分类讨论，也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。
一、 分类讨论应遵循的原则
分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略.在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类。分类讨论应遵循的原则是1. 分类应按同一标准进行；2. 分类讨论应逐级进行；3. 分类应当不重复，不遗漏。
例1 （2012·杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x-）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）
A. 2？ B. 3？ C. 4？ D. 5
分析 根据抛物线的解析式可得C（0，-3），表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，再根据△ABC是等腰三角形，从边的角度分三种情况进行讨论，求得k的值，即可求出答案.
解： 根据题意，得C（0，-3）.
令y=0，则k（x+1）（x）=0，得x=-1或x=，
设A点的坐标为（-1，0），则B（，0），
（1） 当AC=BC时，=1，可得k=3；
（2） 当AC=AB时，
①点B在点A的右面时，
∵AC==，则AB=AC=，B点的坐标为（-1，0），=-1，k=；
②点B在点A的左面时，B点的坐标为（--1，0），=--1，k=-；
（3） AB=BC，点B只有可能在A点的右面，得
（+1）2=32+（）2，k=，
当所以能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是4条；
故选C.
这道题学生易丢解，特别是第二种情况还应分B点在A点的左面和右面两种情况，因而做分类讨论题一定要做到逐级进行，做到不重复，不遗漏。
二、 分类讨论的类型
分类讨论，一方面可将复杂的问题分解为若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养。特别是当我们所研究的各种对象之间过于复杂，或涉及范围比较广泛时，可采用分类讨论的方进行解决，即对部题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解，那么在具体问题中，哪些问题需要分类讨论呢？
1. 数学概念的内涵需要分类讨论
这类问题主要考查学生对概念的掌握情况，常见的如绝对值，平方根，不等式，方程，函数等等。只要在平时牢固把握概念的内涵，解决这类问题就会得心应手。
例2 若|a|=3，=5，则|a+b|=_______。
分析 因|a|=3，可得a=3或-3， =|b|，可得b=5或-5，因而分4种情况进行讨论，（1） a=3，b=3（2） a=3，b=-3（3） a=-3，b=3（4）a=-3，b=-3，易得|a+b|=2或8.
2. 问题中的条件需要分类讨论。
有些题目的结论不是单一的，具体的，因而条件的可能性的是多样的，需要对题目的条件进行分类讨论，从而解决问题。 ？
例3 如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM=？ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
分析 当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
（1） 当DM与BE是对应边时，
=，即=，DM=
（2） 当DM与AB是对应边时，
=，即=，DM=
故DM的长是或
如果题目改成△ABE～△MDN，则只有一种情况了。
3. 问题中的变量需要分类讨论。
例4 （2010·柳州）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t<3），连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形？
分析 △BEF中，只要变量BE的长确定了，则△BEF就确定了，若要△BEF是直角三角形，分两种情况，（1）∠BFE=90°，（2）∠BEF=90°，当∠BEF=90°，变量t存在A→B和B→A两种可能。
解：∵AB是⊙O的直径，∠ABC=60°，∴∠C=90°，AB=2BC=4.
（1） 当∠BFE=90°时，∵F是BC中点，∴BF=×2=1.
在Rt△BEF中，∠B=60°，∴BE=2BF=2×1=2，AE=4-2=2.
又∵AE=2t，∴2t=2，t=1.
（2） 当∠BEF=90°时，
①点E在A→B时，Rt△BEF时，BE=BF=，∴AE=4-=3，∴2t=3，t=1.75.
②点E在B→A时，t=1.75+=2.25时，∠BEF=90°.
综上，t=1或1.75或2.25.
4. 形状，位置的变化需要分类讨论。
例5 （2012·杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2.
（1） 求∠COB的度数；
（2） 求⊙O的半径R；
（3） 点F在⊙O上（FME是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比.
分析 第（1）（2）求得∠COB=30°，R=5，
（3） 把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个
顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有
三种情况，（1）BC变换到EF（2）OB变换到EF（3）OC变换到EF，
而每一情况又存在两种可能，因此一共有6种情况。这样三角形
有6个，如下图所示：
周长比易求得为5：1.
分类讨论思想是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，在知识发展的各个阶段所反映出不同的层次性。在数学教学中，我们既要重视数学知识应用阶段的教学，更要重视形成阶段的教学，把数学思想方法的训练贯穿于教学始终，充分揭示数学思维过程，将“发现过程中的数学”返璞归真地教给学生，帮助他们了解问题的本来面目，恢复问题的本源。我想，这才是数学教学追寻的最终目的。
针对训练
1. 已知直角三角形两边x、y的长满足，|x2-4|+=0则第三边长为？ 。
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4），连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是（ ）
A. （8，4）
B. （8，4）或（-3，4）
C. （8，4）或（-3，4）或（-2，4）
D. （8，4）或（-3，4）或（-2，4）或
参考答案
1. 解：由已知易得x=2，y1=2，y2=3.
（1） 若x=2，y=2是三角形两条直角边的长，则第三边长为2，
（2） 若x=2，y=3是三角形两条直角边的长，则第三边长为，
（3） 若x=2是一直角边的长，y=3是斜边，则第三边长为。
∴第三边长为2或或。
2. 答案D
解析 ∵点A的坐标为（3，4），
∴OA==4.当AP=AO时，可知P1（-2，4）P2（8，4），
当OP=PA时，可知P3（-3，4），
当PO=PA时，设PO=PA=m.有（m-3）2+42=m2，m=，
m-3=，P4-，4，故选D.
（责任编辑：殷大才）
一、 分类讨论应遵循的原则
分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略.在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类。分类讨论应遵循的原则是1. 分类应按同一标准进行；2. 分类讨论应逐级进行；3. 分类应当不重复，不遗漏。
例1 （2012·杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x-）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）
A. 2？ B. 3？ C. 4？ D. 5
分析 根据抛物线的解析式可得C（0，-3），表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，再根据△ABC是等腰三角形，从边的角度分三种情况进行讨论，求得k的值，即可求出答案.
解： 根据题意，得C（0，-3）.
令y=0，则k（x+1）（x）=0，得x=-1或x=，
设A点的坐标为（-1，0），则B（，0），
（1） 当AC=BC时，=1，可得k=3；
（2） 当AC=AB时，
①点B在点A的右面时，
∵AC==，则AB=AC=，B点的坐标为（-1，0），=-1，k=；
②点B在点A的左面时，B点的坐标为（--1，0），=--1，k=-；
（3） AB=BC，点B只有可能在A点的右面，得
（+1）2=32+（）2，k=，
当所以能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是4条；
故选C.
这道题学生易丢解，特别是第二种情况还应分B点在A点的左面和右面两种情况，因而做分类讨论题一定要做到逐级进行，做到不重复，不遗漏。
二、 分类讨论的类型
分类讨论，一方面可将复杂的问题分解为若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养。特别是当我们所研究的各种对象之间过于复杂，或涉及范围比较广泛时，可采用分类讨论的方进行解决，即对部题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解，那么在具体问题中，哪些问题需要分类讨论呢？
1. 数学概念的内涵需要分类讨论
这类问题主要考查学生对概念的掌握情况，常见的如绝对值，平方根，不等式，方程，函数等等。只要在平时牢固把握概念的内涵，解决这类问题就会得心应手。
例2 若|a|=3，=5，则|a+b|=_______。
分析 因|a|=3，可得a=3或-3， =|b|，可得b=5或-5，因而分4种情况进行讨论，（1） a=3，b=3（2） a=3，b=-3（3） a=-3，b=3（4）a=-3，b=-3，易得|a+b|=2或8.
2. 问题中的条件需要分类讨论。
有些题目的结论不是单一的，具体的，因而条件的可能性的是多样的，需要对题目的条件进行分类讨论，从而解决问题。 ？
例3 如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM=？ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
分析 当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
（1） 当DM与BE是对应边时，
=，即=，DM=
（2） 当DM与AB是对应边时，
=，即=，DM=
故DM的长是或
如果题目改成△ABE～△MDN，则只有一种情况了。
3. 问题中的变量需要分类讨论。
例4 （2010·柳州）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t<3），连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形？
分析 △BEF中，只要变量BE的长确定了，则△BEF就确定了，若要△BEF是直角三角形，分两种情况，（1）∠BFE=90°，（2）∠BEF=90°，当∠BEF=90°，变量t存在A→B和B→A两种可能。
解：∵AB是⊙O的直径，∠ABC=60°，∴∠C=90°，AB=2BC=4.
（1） 当∠BFE=90°时，∵F是BC中点，∴BF=×2=1.
在Rt△BEF中，∠B=60°，∴BE=2BF=2×1=2，AE=4-2=2.
又∵AE=2t，∴2t=2，t=1.
（2） 当∠BEF=90°时，
①点E在A→B时，Rt△BEF时，BE=BF=，∴AE=4-=3，∴2t=3，t=1.75.
②点E在B→A时，t=1.75+=2.25时，∠BEF=90°.
综上，t=1或1.75或2.25.
4. 形状，位置的变化需要分类讨论。
例5 （2012·杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2.
（1） 求∠COB的度数；
（2） 求⊙O的半径R；
（3） 点F在⊙O上（FME是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比.
分析 第（1）（2）求得∠COB=30°，R=5，
（3） 把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个
顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有
三种情况，（1）BC变换到EF（2）OB变换到EF（3）OC变换到EF，
而每一情况又存在两种可能，因此一共有6种情况。这样三角形
有6个，如下图所示：
周长比易求得为5：1.
分类讨论思想是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，在知识发展的各个阶段所反映出不同的层次性。在数学教学中，我们既要重视数学知识应用阶段的教学，更要重视形成阶段的教学，把数学思想方法的训练贯穿于教学始终，充分揭示数学思维过程，将“发现过程中的数学”返璞归真地教给学生，帮助他们了解问题的本来面目，恢复问题的本源。我想，这才是数学教学追寻的最终目的。
针对训练
1. 已知直角三角形两边x、y的长满足，|x2-4|+=0则第三边长为？ 。
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4），连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是（ ）
A. （8，4）
B. （8，4）或（-3，4）
C. （8，4）或（-3，4）或（-2，4）
D. （8，4）或（-3，4）或（-2，4）或
参考答案
1. 解：由已知易得x=2，y1=2，y2=3.
（1） 若x=2，y=2是三角形两条直角边的长，则第三边长为2，
（2） 若x=2，y=3是三角形两条直角边的长，则第三边长为，
（3） 若x=2是一直角边的长，y=3是斜边，则第三边长为。
∴第三边长为2或或。
2. 答案D
解析 ∵点A的坐标为（3，4），
∴OA==4.当AP=AO时，可知P1（-2，4）P2（8，4），
当OP=PA时，可知P3（-3，4），
当PO=PA时，设PO=PA=m.有（m-3）2+42=m2，m=，
m-3=，P4-，4，故选D.
（责任编辑：殷大才）