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[摘 要]模型思想在小学数学教学中无处不在。以“植树问题”的教学为例，谈谈在教学中如何渗透数学模型思想，以培养学生的数学素养。
[关键词]数学模型思想；一一对应；植树模型
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0009-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”下面就以“植树问题”的教学为例，论述如何在教学中渗透数学模型思想。
一、学生对“植树问题”的认知现状
对学生进行课前调研发现，对于题目“30米长的小路，每隔6米种一棵树，可以种多少棵？”，班上34名学生中，2名学生能写出三种正确答案，28名学生能写出一种正确答案，4名学生答错。从解题形式来看，列式解答的有21名学生，先画图再列式解答的有13名学生；从思考方式来看，2名学生考虑了一端种一端不种、两端都种、两端都不种这三种情况，5名学生考虑了一端种一端不种的情况，17名学生考虑了两端都种的情况，10名学生考虑了两端都不种的情况。
由此可以看出，学生的认知基础不是一片空白。班上有个别学生在课外已经学习过“植树问题”，对于他们来说没有难度；而没有提前学习过的绝大多数学生，他们也能通过思考找到正确的解题方法。在正确的解题方法中，有一部分学生是通过画图得到了正确的答案（如图1），而一部分学生没有画图也得出了正确的答案（如图2）。通过追问该部分学生得知，由于数据较小，他们可以在头脑中想象出线段图，借助线段图来解决问题。
郑毓信教授在《“植树问题”教学之我见》一文中提出，植树问题”的本质就是对应问题，只要明确了“间隔”与“树”两者之间的对应关系，无论是“植树问题”，还是“爬楼问题”“锯木问题”“敲钟问题”等相关问题都能迎刃而解。尽管“植树问题”是一个很好的“现实原型”，但在教学中我们还需要超出这一特定情境，设法帮助学生清楚地认识到，所有这些具体问题都有着相同的数学结构，从而帮助学生建构普适的数学模式，提升学生的思维水平。
二、基于数学模型思想的教学重构
【教学片段1】小组合作，初步感受“植树模型”
出示问题情境：15米长的小路，每隔3米种一棵树，可以种多少棵？
師：先把思考过程画在练习纸上，再在小组内交流想法。
（教师巡视辅导，并把学生的一些作品贴在黑板上）
师：这些作品看起来比较乱，我们一起来整理。可以把它们分为几种情况？
（学生将作品分类：一端种一端不种，两端都种，两端都不种。）
在这一教学片段中，教师还引导学生把文字性问题转化成了线段图，这不仅提升了学生的认知能力，也为“植树问题”的教学埋下了伏笔。植树问题的三种情况并不是在教师的刻意安排下出示的，而是在教师的引导下，学生将多个作品适当分类得到的。这一教学环节的设计为后面的教学提供了很好的资源。
【教学片段2】渗透“一一对应”意识，构建“植树模型”
师：这三种情况就是我们今天要学习的“植树问题”。
师：对于一端种一端不种的情况，如果只种5棵数，用算式怎么表示？
生1：15÷3=5（棵）。
师：如果是两端都种的情况，又怎么列式？
生2：15÷3 1=6（棵）。
师：两端都不种呢？
生3：15÷3-1=4（棵）。
师：是的，植树的方式不同，列式的方法也就不同，但在不同中有相同，是什么？
生4：都有15÷3。
师：15÷3求的是什么？
生5：间隔数。
师：明明这三种情况都是5个间隔，为什么有的答案要 1，有的答案却要-1？
生6：从左往右看，一个间隔对应一棵树。一端种一端不种，间隔与树一一对应，所以树的棵数等于间隔数；两端都种时，有一棵树没有间隔与它对应，所以树的棵数比间隔数多1；两端都不种时，有一个间隔没有树与它对应，所以树的棵数比间隔数少1。
师：真了不起，能够借助一一对应的关系，了解隐藏在“植树问题”里面的奥秘。
在这一教学片段中，教师有意识地让学生把画图与列式相结合，降低了学生的学习难度。“明明这三种情况都是5个间隔，为什么有的答案要 1，有的答案却要-1？”这一问题引发了学生的认知冲突。学生将思考点聚焦在“树”与“间隔”之间的一一对应关系上，有效突破了学习的难点，初步建立了一一对应的数学思想，为后续植树模型的构建打下了基础。
【教学片段3】对比总结提升，强化“植树模型”
师：把全长15米改一下，还会做吗？
师：如果全长越来越长，有n个间隔，你还知道有多少棵树吗？你是怎么想的？
生1：如果一端种一端不种，间隔与树一一对应，树的棵数等于间隔数，所以树的棵数=n；如果两端都种，有一棵树没有间隔与它对应，树的棵数比间隔数多1，所以树的棵数=n 1；如果两端都不种，有一个间隔没有树与它对应，树的棵数比间隔数少1，所以树的棵数=n-1。
师：看来全长有多长并不重要，重要的是看清楚棵数与间隔数之间的关系。
在这一教学片段中，学生经历了从特殊到一般的研究过程，在汇报、交流、总结中形成结构性的数学认知。可以看到，“植树模型”本质上是乘法模型和一一对应的“点段模型”相互结合后产生的新模型。学生以后遇到这类题目就会直接列式，即用“总长度÷间距=段数”来解决问题，找到这个基本模型对学生来说并不难，如果学生还能借助直观图，那便很容易发现“段数”与“点数”之间的对应关系，意识到求出的实际上不是“点数”而是“段数”。对于“爬楼问题”“锯木问题”“敲钟问题”等相关问题，其本质和结构是相同的，也就是有一样的数学模型。
三、数学模型思想的教学思考与定位
数学家米山国藏曾说：“作为知识的数学，出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，才能使人终身受益。”数学思想是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心。小学数学的知识内容并不多，而与数学内容息息相关的数学模型思想却无处不在。如果 “只见树木而不见森林”，那么数学教学就会失去真正的价值。因此，教师要重视数学模型思想的教学。
小学数学模型思想教学的对象是儿童，教师确定数学模型思想教学的起点时必须考虑儿童的生活经验和思维特征。儿童的生活经验相对比较贫乏，但也有其时代特点，教师必须从儿童的视角出发，充分挖掘并引入学校、家庭中与数学学习相关的素材，努力将教材中的内容转化为学生所熟悉的数学问题，从而使学生产生学习的内驱力，从而积极调动自身经验，感知数学模型的存在。同时，小学生年龄较小，思维方式更偏向于直观层面，因而小学数学建模活动应结合学生的实际思维水平，分层逐步推进，这样才能调动学生思考的积极性。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》没有对数学模型思想教学提出明确要求，这符合小学生的学情，也符合小学生的知识和能力水平。与小学低年级学生谈数学建模，对小学高年级学生提出学会数学建模等要求，这显然是人为地拔高了数学模型思想在小学阶段的教学目标，但这并不代表教师在小学阶段不需要作为或不可能作为。恰恰相反，小学阶段正是数学模型思想教学的初级阶段，应该抓住合适的时机让学生来体验和感悟数学模型思想。
基于上述认识，教师应当注重从儿童的视角出发，积极开展以体验感悟为目标指向的数学模型思想教学。作为《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的数学核心素养之一，“数学建模”对学生中学阶段继续学习数学的价值是不言而喻的。在小学数学教学中，让学生有些感悟和体验，尝试经历这样的过程，积累有价值的数学经验，使学生能够在中学甚至大学的学习中达到更高的建模水平，这是我们所期望的。
（责编 金 铃）
[关键词]数学模型思想；一一对应；植树模型
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0009-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”下面就以“植树问题”的教学为例，论述如何在教学中渗透数学模型思想。
一、学生对“植树问题”的认知现状
对学生进行课前调研发现，对于题目“30米长的小路，每隔6米种一棵树，可以种多少棵？”，班上34名学生中，2名学生能写出三种正确答案，28名学生能写出一种正确答案，4名学生答错。从解题形式来看，列式解答的有21名学生，先画图再列式解答的有13名学生；从思考方式来看，2名学生考虑了一端种一端不种、两端都种、两端都不种这三种情况，5名学生考虑了一端种一端不种的情况，17名学生考虑了两端都种的情况，10名学生考虑了两端都不种的情况。
由此可以看出，学生的认知基础不是一片空白。班上有个别学生在课外已经学习过“植树问题”，对于他们来说没有难度；而没有提前学习过的绝大多数学生，他们也能通过思考找到正确的解题方法。在正确的解题方法中，有一部分学生是通过画图得到了正确的答案（如图1），而一部分学生没有画图也得出了正确的答案（如图2）。通过追问该部分学生得知，由于数据较小，他们可以在头脑中想象出线段图，借助线段图来解决问题。
郑毓信教授在《“植树问题”教学之我见》一文中提出，植树问题”的本质就是对应问题，只要明确了“间隔”与“树”两者之间的对应关系，无论是“植树问题”，还是“爬楼问题”“锯木问题”“敲钟问题”等相关问题都能迎刃而解。尽管“植树问题”是一个很好的“现实原型”，但在教学中我们还需要超出这一特定情境，设法帮助学生清楚地认识到，所有这些具体问题都有着相同的数学结构，从而帮助学生建构普适的数学模式，提升学生的思维水平。
二、基于数学模型思想的教学重构
【教学片段1】小组合作，初步感受“植树模型”
出示问题情境：15米长的小路，每隔3米种一棵树，可以种多少棵？
師：先把思考过程画在练习纸上，再在小组内交流想法。
（教师巡视辅导，并把学生的一些作品贴在黑板上）
师：这些作品看起来比较乱，我们一起来整理。可以把它们分为几种情况？
（学生将作品分类：一端种一端不种，两端都种，两端都不种。）
在这一教学片段中，教师还引导学生把文字性问题转化成了线段图，这不仅提升了学生的认知能力，也为“植树问题”的教学埋下了伏笔。植树问题的三种情况并不是在教师的刻意安排下出示的，而是在教师的引导下，学生将多个作品适当分类得到的。这一教学环节的设计为后面的教学提供了很好的资源。
【教学片段2】渗透“一一对应”意识，构建“植树模型”
师：这三种情况就是我们今天要学习的“植树问题”。
师：对于一端种一端不种的情况，如果只种5棵数，用算式怎么表示？
生1：15÷3=5（棵）。
师：如果是两端都种的情况，又怎么列式？
生2：15÷3 1=6（棵）。
师：两端都不种呢？
生3：15÷3-1=4（棵）。
师：是的，植树的方式不同，列式的方法也就不同，但在不同中有相同，是什么？
生4：都有15÷3。
师：15÷3求的是什么？
生5：间隔数。
师：明明这三种情况都是5个间隔，为什么有的答案要 1，有的答案却要-1？
生6：从左往右看，一个间隔对应一棵树。一端种一端不种，间隔与树一一对应，所以树的棵数等于间隔数；两端都种时，有一棵树没有间隔与它对应，所以树的棵数比间隔数多1；两端都不种时，有一个间隔没有树与它对应，所以树的棵数比间隔数少1。
师：真了不起，能够借助一一对应的关系，了解隐藏在“植树问题”里面的奥秘。
在这一教学片段中，教师有意识地让学生把画图与列式相结合，降低了学生的学习难度。“明明这三种情况都是5个间隔，为什么有的答案要 1，有的答案却要-1？”这一问题引发了学生的认知冲突。学生将思考点聚焦在“树”与“间隔”之间的一一对应关系上，有效突破了学习的难点，初步建立了一一对应的数学思想，为后续植树模型的构建打下了基础。
【教学片段3】对比总结提升，强化“植树模型”
师：把全长15米改一下，还会做吗？
师：如果全长越来越长，有n个间隔，你还知道有多少棵树吗？你是怎么想的？
生1：如果一端种一端不种，间隔与树一一对应，树的棵数等于间隔数，所以树的棵数=n；如果两端都种，有一棵树没有间隔与它对应，树的棵数比间隔数多1，所以树的棵数=n 1；如果两端都不种，有一个间隔没有树与它对应，树的棵数比间隔数少1，所以树的棵数=n-1。
师：看来全长有多长并不重要，重要的是看清楚棵数与间隔数之间的关系。
在这一教学片段中，学生经历了从特殊到一般的研究过程，在汇报、交流、总结中形成结构性的数学认知。可以看到，“植树模型”本质上是乘法模型和一一对应的“点段模型”相互结合后产生的新模型。学生以后遇到这类题目就会直接列式，即用“总长度÷间距=段数”来解决问题，找到这个基本模型对学生来说并不难，如果学生还能借助直观图，那便很容易发现“段数”与“点数”之间的对应关系，意识到求出的实际上不是“点数”而是“段数”。对于“爬楼问题”“锯木问题”“敲钟问题”等相关问题，其本质和结构是相同的，也就是有一样的数学模型。
三、数学模型思想的教学思考与定位
数学家米山国藏曾说：“作为知识的数学，出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，才能使人终身受益。”数学思想是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心。小学数学的知识内容并不多，而与数学内容息息相关的数学模型思想却无处不在。如果 “只见树木而不见森林”，那么数学教学就会失去真正的价值。因此，教师要重视数学模型思想的教学。
小学数学模型思想教学的对象是儿童，教师确定数学模型思想教学的起点时必须考虑儿童的生活经验和思维特征。儿童的生活经验相对比较贫乏，但也有其时代特点，教师必须从儿童的视角出发，充分挖掘并引入学校、家庭中与数学学习相关的素材，努力将教材中的内容转化为学生所熟悉的数学问题，从而使学生产生学习的内驱力，从而积极调动自身经验，感知数学模型的存在。同时，小学生年龄较小，思维方式更偏向于直观层面，因而小学数学建模活动应结合学生的实际思维水平，分层逐步推进，这样才能调动学生思考的积极性。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》没有对数学模型思想教学提出明确要求，这符合小学生的学情，也符合小学生的知识和能力水平。与小学低年级学生谈数学建模，对小学高年级学生提出学会数学建模等要求，这显然是人为地拔高了数学模型思想在小学阶段的教学目标，但这并不代表教师在小学阶段不需要作为或不可能作为。恰恰相反，小学阶段正是数学模型思想教学的初级阶段，应该抓住合适的时机让学生来体验和感悟数学模型思想。
基于上述认识，教师应当注重从儿童的视角出发，积极开展以体验感悟为目标指向的数学模型思想教学。作为《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的数学核心素养之一，“数学建模”对学生中学阶段继续学习数学的价值是不言而喻的。在小学数学教学中，让学生有些感悟和体验，尝试经历这样的过程，积累有价值的数学经验，使学生能够在中学甚至大学的学习中达到更高的建模水平，这是我们所期望的。
（责编 金 铃）