论文部分内容阅读
一、全等三角形
要点1 全等三角形的概念及其性质
知识链接:全等三角形的概念;全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
例1 如图1,若△ABC ≌△A1B1C1 ,且∠A=110°,∠B=40°则∠C1= ________.
图1
解析:根据三角形的内角和定理可求得∠C=180°-
110°-40°=30°,再根据全等三角形的对应角相等可得∠C1=∠C=30°.
点拨:熟练掌握全等三角形的性质、三角形的内角和是180°等知识是解决此类题的关键,利用所给条件将未知向已知转化则是解题的方法.
要点2 三角形全等的判定方法
知识链接:三角形全等的判定方法:“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”以及“斜边直角边”定理.
例2 如图2,已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,要使△ABC≌△FDE,还需添加一个条件,这个条件可以是 ________.
图2
解析:本题答案不唯一,因为已知AC=FE,BC=DE,所以根据“SSS”可以添加AB=FD,也可以根据“SAS”添加∠C=∠DFE等.
点拨:全等三角形是初中数学的必考内容之一,它通常以开放题和探究题的形式出现.
要点3角的平分线的性质
知识链接:(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等;(2)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
例3 如图3,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于D,若CD=3cm,则点D到AB的距离DE是() .
A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm
图3
解析:因为BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥BC,所以DE=DC=3cm,即点D到AB的距离DE是3cm.故选C.
点拨:有角平分线时常过角平分线上的点向角的两边作垂线,则根据角平分线的性质得垂线段相等.
二、轴对称
要点4轴对称与轴对称图形
知识链接:轴对称与轴对称图形的概念及其联系与区别.
例4 下列图形是轴对称图形的是( ).
A. B. C.D.
解析:根据轴对称图形的定义可知,A、C、D 3个选项的图形折叠后不能重合,只有选项B的图形折叠后能重合,所以应选B.
点拨:解决这类题目的关键是正确理解轴对称图形的定义,即将图形沿某条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,则是轴对称图形,否则不是.
要点5线段的垂直平分线
知识链接:线段的垂直平分线的性质.
例5 如图4,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为( ).
A.6 B.5 C.4 D.3
图4
解析:根据线段垂直平分线性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.由此可以直接判断线段PA与线段PB的长度相等,故选B.
点拨:本题主要考查对线段垂直平分线性质的理解和记忆是否准确无误。近年来一些考题回归教材,概念的考查是一大亮点.
要点6作轴对称图形
知识链接:作轴对称图形和用坐标表示轴对称图形.
例6 △ABC在平面直角坐标系中的位置如图5所示, A、B、C三点在格点上.作出 △ABC关于y轴对称的△A1B1C1 ,并写出点C1的坐标.
图5图6
解析:如图6,先画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,图中C点的坐标是(3,2),因为点C与点C1关于y轴对称,所以点C1的坐标为(-3,2).
点拨:(1)要正确掌握作轴对称图形的方法;(2)了解关于坐标轴对称的点的坐标特点.即①关于x轴对称的点:横坐标不变,纵坐标互为相反数;②关于y轴对称的点:横坐标互为相反数,纵坐标不变.
要点7等腰三角形
知识链接:等腰三角形的轴对称性,等腰三角形的性质与判定.
例7如图7,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( ).
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
图7
解析:由AB=AC,∠A=36°得,∠ABC=∠ACB=72°,由BD、CE分别是角平分线,所以∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB=36°.再由三角形内角和易得∠CED=∠BDC=72°,根据等角对等边,图中的5个三角形都是等腰三角形.故选A.
点拨:本题的关键是计算出角度,再根据等角对等边确定等腰三角形.值得一提的是,含有36°角的等腰三角形很特别,在其中可以构造出很多等腰三角形.
要点8等边三角形
知识链接:等边三角形的定义、性质与判定.
例8如图8,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE.
图8
解析:要证明BD=DE,只要证∠DBC=∠E,因为CE=CD,可以证明∠E=30°,因为D为AC中点,故∠DBC= 30°.问题便获得解决.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵D为AC中点,
∴∠DBC=30°.
∵CE=CD,
∴∠E= 30°.
∴∠DBC=∠E.
∴BD=DE.
点拨:本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及其判定,在书写推理过程时要做到言之有理.
三、实数
要点9平方根与算术平方根
知识链接: 平方根与算术平方根的概念及其性质.
例9(1)16的算术平方根是__________.
(2)4的平方根是( ).
A. B.2 C.±2 D.±
解析:(1)一般地,如果一个正数x的平方等于a,把这个正数x叫作a的算术平方根,本题中42=16,因此16的算术平方根是4.
(2)因为一个正数的平方根有两个,且(±2)2=4 ,所以4的平方根是±2,故选C.
点拨:一个正数a的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的平方根叫做算术平方根. ( a≥0 )表示a的算术平方根,±(a≥0 )表示a的平方根.
要点10立方根
知识链接:立方根的概念与性质.
例10 -8的立方根是().
A.2B.-2C.D.-
解析:一个负数的立方根是一个负数,且(-2)3=-8,所以-8的立方根是-2.故选B.
点拨:正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0,数a的立方根用表示.
要点11 无理数
知识链接:无理数的概念,实数的分类.
例11下列实数中,是无理数的为().
A.3.14 B. C. D.
解析:判断一个数是否是实数,应根据无理数的概念,对照无理数的三种表现形式进行判断.其中只有 是无理数.故选C.
点拨:解决这类问题的关键是正确理解有理数和无理数的定义.
要点12实数与数轴
知识链接:实数与数轴上点的对应关系,实数的相反数、绝对值与倒数.
例12无理数-的相反数是( ).
A.- B. C. D.-
解析:因为数a的相反数是-a,所以-的相反数是.故选B.
点拨:在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.
例13 如图9,数轴上A、B两点对应的实数分别是1和,若点A关于B点的对称点为点C,则点C所对应的实数为().
A.2-1B.1+
C.2+D.2+1
图9
解析:数轴上A、B两点对应的实数分别是1和,则AB=-1.点A关于B点的对称点为点C,则BC=AB=-1,则点C到原点的距离为+(-1)
=2-1.所以点C所对应的实数为2-1.故选A.
点拨:解决这类问题的基本思路是:先求出点到原点的距离,再正确表示出点所表示的实数.
要点13实数的大小比较
知识链接:实数的大小比较的常用方法.
例 14如图10,若A是实数a在数轴上对应的点,则关于a,-a,1的大小关系表示正确的是( ).
A.a<1<-a B.a<-a<1
C.1<-a
图10
解析:观察A是实数a在数轴上位置可知,实数a是一个小于-1的数,因此-a是一个大于1的数,所以a,-a,1的大小关系是a<1<-a.故选A.
点拨:实数大小比较的方法很多,常用的有:数轴比较法,法则比较法,作差比较法,作商比较法,特殊值比较法等.而数轴比较法数形结合,直观形象,这种方法特别适用于同时比较多个实数的大小.
要点1 全等三角形的概念及其性质
知识链接:全等三角形的概念;全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
例1 如图1,若△ABC ≌△A1B1C1 ,且∠A=110°,∠B=40°则∠C1= ________.
图1
解析:根据三角形的内角和定理可求得∠C=180°-
110°-40°=30°,再根据全等三角形的对应角相等可得∠C1=∠C=30°.
点拨:熟练掌握全等三角形的性质、三角形的内角和是180°等知识是解决此类题的关键,利用所给条件将未知向已知转化则是解题的方法.
要点2 三角形全等的判定方法
知识链接:三角形全等的判定方法:“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”以及“斜边直角边”定理.
例2 如图2,已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,要使△ABC≌△FDE,还需添加一个条件,这个条件可以是 ________.
图2
解析:本题答案不唯一,因为已知AC=FE,BC=DE,所以根据“SSS”可以添加AB=FD,也可以根据“SAS”添加∠C=∠DFE等.
点拨:全等三角形是初中数学的必考内容之一,它通常以开放题和探究题的形式出现.
要点3角的平分线的性质
知识链接:(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等;(2)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
例3 如图3,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于D,若CD=3cm,则点D到AB的距离DE是() .
A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm
图3
解析:因为BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥BC,所以DE=DC=3cm,即点D到AB的距离DE是3cm.故选C.
点拨:有角平分线时常过角平分线上的点向角的两边作垂线,则根据角平分线的性质得垂线段相等.
二、轴对称
要点4轴对称与轴对称图形
知识链接:轴对称与轴对称图形的概念及其联系与区别.
例4 下列图形是轴对称图形的是( ).
A. B. C.D.
解析:根据轴对称图形的定义可知,A、C、D 3个选项的图形折叠后不能重合,只有选项B的图形折叠后能重合,所以应选B.
点拨:解决这类题目的关键是正确理解轴对称图形的定义,即将图形沿某条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,则是轴对称图形,否则不是.
要点5线段的垂直平分线
知识链接:线段的垂直平分线的性质.
例5 如图4,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为( ).
A.6 B.5 C.4 D.3
图4
解析:根据线段垂直平分线性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.由此可以直接判断线段PA与线段PB的长度相等,故选B.
点拨:本题主要考查对线段垂直平分线性质的理解和记忆是否准确无误。近年来一些考题回归教材,概念的考查是一大亮点.
要点6作轴对称图形
知识链接:作轴对称图形和用坐标表示轴对称图形.
例6 △ABC在平面直角坐标系中的位置如图5所示, A、B、C三点在格点上.作出 △ABC关于y轴对称的△A1B1C1 ,并写出点C1的坐标.
图5图6
解析:如图6,先画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,图中C点的坐标是(3,2),因为点C与点C1关于y轴对称,所以点C1的坐标为(-3,2).
点拨:(1)要正确掌握作轴对称图形的方法;(2)了解关于坐标轴对称的点的坐标特点.即①关于x轴对称的点:横坐标不变,纵坐标互为相反数;②关于y轴对称的点:横坐标互为相反数,纵坐标不变.
要点7等腰三角形
知识链接:等腰三角形的轴对称性,等腰三角形的性质与判定.
例7如图7,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( ).
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
图7
解析:由AB=AC,∠A=36°得,∠ABC=∠ACB=72°,由BD、CE分别是角平分线,所以∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB=36°.再由三角形内角和易得∠CED=∠BDC=72°,根据等角对等边,图中的5个三角形都是等腰三角形.故选A.
点拨:本题的关键是计算出角度,再根据等角对等边确定等腰三角形.值得一提的是,含有36°角的等腰三角形很特别,在其中可以构造出很多等腰三角形.
要点8等边三角形
知识链接:等边三角形的定义、性质与判定.
例8如图8,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE.
图8
解析:要证明BD=DE,只要证∠DBC=∠E,因为CE=CD,可以证明∠E=30°,因为D为AC中点,故∠DBC= 30°.问题便获得解决.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵D为AC中点,
∴∠DBC=30°.
∵CE=CD,
∴∠E= 30°.
∴∠DBC=∠E.
∴BD=DE.
点拨:本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及其判定,在书写推理过程时要做到言之有理.
三、实数
要点9平方根与算术平方根
知识链接: 平方根与算术平方根的概念及其性质.
例9(1)16的算术平方根是__________.
(2)4的平方根是( ).
A. B.2 C.±2 D.±
解析:(1)一般地,如果一个正数x的平方等于a,把这个正数x叫作a的算术平方根,本题中42=16,因此16的算术平方根是4.
(2)因为一个正数的平方根有两个,且(±2)2=4 ,所以4的平方根是±2,故选C.
点拨:一个正数a的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的平方根叫做算术平方根. ( a≥0 )表示a的算术平方根,±(a≥0 )表示a的平方根.
要点10立方根
知识链接:立方根的概念与性质.
例10 -8的立方根是().
A.2B.-2C.D.-
解析:一个负数的立方根是一个负数,且(-2)3=-8,所以-8的立方根是-2.故选B.
点拨:正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0,数a的立方根用表示.
要点11 无理数
知识链接:无理数的概念,实数的分类.
例11下列实数中,是无理数的为().
A.3.14 B. C. D.
解析:判断一个数是否是实数,应根据无理数的概念,对照无理数的三种表现形式进行判断.其中只有 是无理数.故选C.
点拨:解决这类问题的关键是正确理解有理数和无理数的定义.
要点12实数与数轴
知识链接:实数与数轴上点的对应关系,实数的相反数、绝对值与倒数.
例12无理数-的相反数是( ).
A.- B. C. D.-
解析:因为数a的相反数是-a,所以-的相反数是.故选B.
点拨:在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.
例13 如图9,数轴上A、B两点对应的实数分别是1和,若点A关于B点的对称点为点C,则点C所对应的实数为().
A.2-1B.1+
C.2+D.2+1
图9
解析:数轴上A、B两点对应的实数分别是1和,则AB=-1.点A关于B点的对称点为点C,则BC=AB=-1,则点C到原点的距离为+(-1)
=2-1.所以点C所对应的实数为2-1.故选A.
点拨:解决这类问题的基本思路是:先求出点到原点的距离,再正确表示出点所表示的实数.
要点13实数的大小比较
知识链接:实数的大小比较的常用方法.
例 14如图10,若A是实数a在数轴上对应的点,则关于a,-a,1的大小关系表示正确的是( ).
A.a<1<-a B.a<-a<1
C.1<-a
图10
解析:观察A是实数a在数轴上位置可知,实数a是一个小于-1的数,因此-a是一个大于1的数,所以a,-a,1的大小关系是a<1<-a.故选A.
点拨:实数大小比较的方法很多,常用的有:数轴比较法,法则比较法,作差比较法,作商比较法,特殊值比较法等.而数轴比较法数形结合,直观形象,这种方法特别适用于同时比较多个实数的大小.