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摘 要：算法是《普通高中数学课程标准（实验稿）》新增内容之一，作为高中数学新课改的必修内容，并提出“通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献”的要求． 由湖南教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书（必修）数学第五册（以下简称课本）第11章“算法初步”中，介绍了我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”． 下面是笔者在教学中对“更相减损术”的解读与思考．
关键词：新课标；更相减损术；辗转相减法；辗转相除法；
“更相减损术”的由来
1. 对古代名著原文的解读
笔者查阅《九章算术》“方田”章的第六题原文：
“又有九十一分之四十九．问：约之，得几何？答曰：十三分之七．”
约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．
《九章算术》是以算筹为算具的数学书，现将上述算题作筹算图式，以帮助我们领会“更相减损术”术文的真实含义．
由此可见，“更相减损术”是一个分数化简为既约分数的算法．翻译为现代语言如下：
第一步：任意给定分数（m，n为两个正整数）；判断m，n是否都是偶数． 若是，用2约简；若不是，才执行第二步．
第二步：对分子和分母辗转相减，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数． 继续这个操作，直到所得的数相等为止．
第三步：以等数约之，可得到（最简）既约分数．
2. “更相减损术”是一种算法
但是课本上说更相减损术是计算两个数最大公因数的算法，有待商榷． 如果我们利用古代原著更相减损术的计算步骤来计算下面这个例子，则得出矛盾．
例1 利用更相减损术计算18与12的最大公约数．
解：第一步：由于18与12均为偶数，用2约简得到9和6；
第二步：把9和6以大数减去小数，并辗转相减，直到所得到的数相等为止． 过程如图2所示．
所以，18与12的最大公约数为3（等数）． 这显然是一个错误的结果．
这一例子说明课本对“更相减损术”术文的理解有些问题，因此，我们得出结论：“更相减损术”并不是求两个数最大公因数的方法，而是一个分数化简为既约分数的算法．
“更相减损术”的更新
1. 对古代名著原文的改进
我们知道，分数化简与求最大公约数是密不可分的． “更相减损术”中的“副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也”，当省去“可半者半之，不可半者”就是求两个整数最大公约数的算法，我们不妨称之为“辗转相减法”．
翻译为现代语言如下：任意给定两个正整数，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，仍以大数减去小数． 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数．
例2 求18与12的最大公约数．
解：由下述辗转相减过程可得18与12的最大公约数为6．
解：我们类似《九章算术》的筹算推演过程来表述辗转相减法的操作步骤
所以，98与63的最大公约数等于7．
2. “辗转相减法”原理的证明
我们进一步思考，为什么通过辗转相减，最后那个等数就是这两个正整数的最大公约数呢？
不难发现，这其实就是“初等数论”中的一些原理．下面，我们从理论出发，着重来证明利用“辗转相减法”求正整数a和b的最大公约数．
证明：设a和b的最大公约数（a，b）=d，则a=a1d，b=b1d，显然a1和b1互素，即（a1，b1）=1． 不妨令a>b，所以a－b=（a1－b1）d，进一步得到a1－b1，a1，b1两两互素． 若不然令（a1－b1，a1）=d1>1，则d1a1，d1（a1－b1），得到d1b1，与（a1，b1）=1矛盾． 现在a和b的最大公约数可以转化为b和a－b的最大公约数，由上面论证b=b1d，a－b=（a1－b1）d，（a1－b1，b1）=1；若（a1－b1）d=b1d，即a1－b1=b1时，算法结束． 由（a1－b1，b1）=1得到a1－b1=b1=1，则a和b的最大公约数为最后的等数d；若（a1－b1）d≠b1d，即a1－b1≠b1，可继续作减法，重复上述过程，直到出现等数d为止． 由于a，b都是有限数，所以在有限步减法后一定能出现相等的数d，证毕．
“更相减损术”的拓展
1. “辗转相减法”的演变
我们写出用“辗转相减法”求7267与6192的最大公约数的筹算推演过程，发现书写很复杂，能不能简化？按减去相同的数的步骤合并书写可得简洁一些的表示形式：
我们不妨将上述过程用等式表示：
7267－6192×1=1075，即7267=6192×1+1075，
6105－1075×5=817，即6105=1075×5+817，
1075－817×1=258，即1075=817×1+258，
817－258×3=43，即817=258×3+43，
258－43×5=43，即258=43×5+43（带余除法要求写为258=43×6+0）．
观察右边一系列等式，你得到了什么规律？
我们首先是用7267和6192中的较小数除较大数，得商为1，余数为1075；然后将前一步骤的除数作为被除数，余数作为除数，再作带余除法求余数；继续重复上述步骤，直到余数等于零为止，最后一式的除数就是“辗转相减法”的“等数”，即两个数的最大公约数． 这种求两个数的最大公约数的方法就是“辗转相除法”．
2. “辗转相除法”原理及步骤
“辗转相除法”，又叫做“欧几里得算法”，是公元前300年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》中提出的． 利用这个方法，可以较快地求出两个正整数的最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd；或highest common factor，简写为hcf）．
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；
第二步：若r0=0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；
第三步：若r1=0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；
……
依次计算直至rn=0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数．
古希腊的“辗转相除法”是中国古代“辗转相减法（更相减损术）”的一个简洁表示的形式，它们在理论上是一致的． 明显看出，“辗转相减法”和“辗转相除法”都是求最大公约数的方法． 从计算上看，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显；从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到．
“更相减损术”的人文价值
“更相减损术”出自西汉末年的《九章算术》，是当时中国古代数学优秀的算法之一．《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成，为世界数学的发展奠定了坚实的基础． “更相减损术”蕴涵了丰富的算法思想，现代技术的发展使古老的算法焕发了前所未有的生机和活力，是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴． 古代算法的作用重在培养学生的思维能力，同时它较之现代数学仍发挥了很大的作用，更相减损术在现代仍有理论意义和实用价值． 吴文俊教授说：“在我国，求两数最大公约数即等数，用更相减损之术，将两数以小减大累减以得之，每次所得两数与前两数有相同的等数，两数之值逐步减少，因而到有限步后必然获得相同的两数，也即所求的等数．” 吴先生的话不仅说明了此法的理论价值，而且指明学习和研究的方向． 更相减损术很有研究价值，它奠定了我国渐近分数、不定分析、同余式论和大衍求一术的理论基础． 通过给学生上述相关的信息让学生明白学习古代算法更重要的是把握它的精髓，发挥并运用其精华之处并进一步发展它． 在引导学生时既不避讳它的短处，更要发扬它的精髓．
结束语
“更相减损术”是中国古代数学的瑰宝，我们从中感悟到中国数学的机械化算法思想及其对世界数学发展的贡献，领略到中国古代数学对现代计算机算法的影响． 通过更新与拓展“更相减损术”的过程，对于学生而言，学习了有条理地、清晰地表达解决问题的步骤，培养学生逻辑思维能力与表达能力，发展从具体问题中提炼算法思想的能力，这正是新课标对学生数学能力的一种基本要求．
关键词：新课标；更相减损术；辗转相减法；辗转相除法；
“更相减损术”的由来
1. 对古代名著原文的解读
笔者查阅《九章算术》“方田”章的第六题原文：
“又有九十一分之四十九．问：约之，得几何？答曰：十三分之七．”
约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．
《九章算术》是以算筹为算具的数学书，现将上述算题作筹算图式，以帮助我们领会“更相减损术”术文的真实含义．
由此可见，“更相减损术”是一个分数化简为既约分数的算法．翻译为现代语言如下：
第一步：任意给定分数（m，n为两个正整数）；判断m，n是否都是偶数． 若是，用2约简；若不是，才执行第二步．
第二步：对分子和分母辗转相减，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数． 继续这个操作，直到所得的数相等为止．
第三步：以等数约之，可得到（最简）既约分数．
2. “更相减损术”是一种算法
但是课本上说更相减损术是计算两个数最大公因数的算法，有待商榷． 如果我们利用古代原著更相减损术的计算步骤来计算下面这个例子，则得出矛盾．
例1 利用更相减损术计算18与12的最大公约数．
解：第一步：由于18与12均为偶数，用2约简得到9和6；
第二步：把9和6以大数减去小数，并辗转相减，直到所得到的数相等为止． 过程如图2所示．
所以，18与12的最大公约数为3（等数）． 这显然是一个错误的结果．
这一例子说明课本对“更相减损术”术文的理解有些问题，因此，我们得出结论：“更相减损术”并不是求两个数最大公因数的方法，而是一个分数化简为既约分数的算法．
“更相减损术”的更新
1. 对古代名著原文的改进
我们知道，分数化简与求最大公约数是密不可分的． “更相减损术”中的“副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也”，当省去“可半者半之，不可半者”就是求两个整数最大公约数的算法，我们不妨称之为“辗转相减法”．
翻译为现代语言如下：任意给定两个正整数，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，仍以大数减去小数． 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数．
例2 求18与12的最大公约数．
解：由下述辗转相减过程可得18与12的最大公约数为6．
解：我们类似《九章算术》的筹算推演过程来表述辗转相减法的操作步骤
所以，98与63的最大公约数等于7．
2. “辗转相减法”原理的证明
我们进一步思考，为什么通过辗转相减，最后那个等数就是这两个正整数的最大公约数呢？
不难发现，这其实就是“初等数论”中的一些原理．下面，我们从理论出发，着重来证明利用“辗转相减法”求正整数a和b的最大公约数．
证明：设a和b的最大公约数（a，b）=d，则a=a1d，b=b1d，显然a1和b1互素，即（a1，b1）=1． 不妨令a>b，所以a－b=（a1－b1）d，进一步得到a1－b1，a1，b1两两互素． 若不然令（a1－b1，a1）=d1>1，则d1a1，d1（a1－b1），得到d1b1，与（a1，b1）=1矛盾． 现在a和b的最大公约数可以转化为b和a－b的最大公约数，由上面论证b=b1d，a－b=（a1－b1）d，（a1－b1，b1）=1；若（a1－b1）d=b1d，即a1－b1=b1时，算法结束． 由（a1－b1，b1）=1得到a1－b1=b1=1，则a和b的最大公约数为最后的等数d；若（a1－b1）d≠b1d，即a1－b1≠b1，可继续作减法，重复上述过程，直到出现等数d为止． 由于a，b都是有限数，所以在有限步减法后一定能出现相等的数d，证毕．
“更相减损术”的拓展
1. “辗转相减法”的演变
我们写出用“辗转相减法”求7267与6192的最大公约数的筹算推演过程，发现书写很复杂，能不能简化？按减去相同的数的步骤合并书写可得简洁一些的表示形式：
我们不妨将上述过程用等式表示：
7267－6192×1=1075，即7267=6192×1+1075，
6105－1075×5=817，即6105=1075×5+817，
1075－817×1=258，即1075=817×1+258，
817－258×3=43，即817=258×3+43，
258－43×5=43，即258=43×5+43（带余除法要求写为258=43×6+0）．
观察右边一系列等式，你得到了什么规律？
我们首先是用7267和6192中的较小数除较大数，得商为1，余数为1075；然后将前一步骤的除数作为被除数，余数作为除数，再作带余除法求余数；继续重复上述步骤，直到余数等于零为止，最后一式的除数就是“辗转相减法”的“等数”，即两个数的最大公约数． 这种求两个数的最大公约数的方法就是“辗转相除法”．
2. “辗转相除法”原理及步骤
“辗转相除法”，又叫做“欧几里得算法”，是公元前300年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》中提出的． 利用这个方法，可以较快地求出两个正整数的最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd；或highest common factor，简写为hcf）．
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；
第二步：若r0=0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；
第三步：若r1=0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；
……
依次计算直至rn=0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数．
古希腊的“辗转相除法”是中国古代“辗转相减法（更相减损术）”的一个简洁表示的形式，它们在理论上是一致的． 明显看出，“辗转相减法”和“辗转相除法”都是求最大公约数的方法． 从计算上看，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显；从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到．
“更相减损术”的人文价值
“更相减损术”出自西汉末年的《九章算术》，是当时中国古代数学优秀的算法之一．《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成，为世界数学的发展奠定了坚实的基础． “更相减损术”蕴涵了丰富的算法思想，现代技术的发展使古老的算法焕发了前所未有的生机和活力，是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴． 古代算法的作用重在培养学生的思维能力，同时它较之现代数学仍发挥了很大的作用，更相减损术在现代仍有理论意义和实用价值． 吴文俊教授说：“在我国，求两数最大公约数即等数，用更相减损之术，将两数以小减大累减以得之，每次所得两数与前两数有相同的等数，两数之值逐步减少，因而到有限步后必然获得相同的两数，也即所求的等数．” 吴先生的话不仅说明了此法的理论价值，而且指明学习和研究的方向． 更相减损术很有研究价值，它奠定了我国渐近分数、不定分析、同余式论和大衍求一术的理论基础． 通过给学生上述相关的信息让学生明白学习古代算法更重要的是把握它的精髓，发挥并运用其精华之处并进一步发展它． 在引导学生时既不避讳它的短处，更要发扬它的精髓．
结束语
“更相减损术”是中国古代数学的瑰宝，我们从中感悟到中国数学的机械化算法思想及其对世界数学发展的贡献，领略到中国古代数学对现代计算机算法的影响． 通过更新与拓展“更相减损术”的过程，对于学生而言，学习了有条理地、清晰地表达解决问题的步骤，培养学生逻辑思维能力与表达能力，发展从具体问题中提炼算法思想的能力，这正是新课标对学生数学能力的一种基本要求．