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经历了2009年中考以后,3班的同学们感触颇多.考后的一天,数学兴趣小组的同学又聚在一起,围绕2009年江苏中考数学试卷与数学思想方法展开热烈的讨论.
W同学首先发言,谈的是整体思想.2009年江苏中考试卷第18题是填空的压轴题,题目为:
如图,已知EF是梯形ABCD的中位线,△DEF的面积为4cm2,则梯形ABCD的面积为 cm2.
梯形面积等于中位线乘高,乍一看已知条件只有一个,即△DEF的面积为4cm2,似乎条件不足,而整体化思想启示:△DEF的底边EF是梯形的中位线,其高是梯形高的一半,这就是说梯形中位线与高的乘积的■为4,所以梯形面积为16.
对于第14题:若3a2-a-2=0,则5+2a-6a2= .
由3a2-a-2=0易得a=1,a=-■.代入计算,原式=1.而整体化思想启示:a
-3a2=-2,原式=5+2(a-3a2)=1.解法更简明.
H同学说:我着重谈谈转化思想.
第25题,如图,在航线l的两侧分别有观测点A和B,点A到航线l的距离为2km,点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处,现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处,正沿该航线自西向东航行,5min后该轮船行至点A的正北方向的D处.
(1)求观测点B到航线l的距离;
(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h).(参考数据:■≈1.73,sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
结合题意,过A作BE的垂线,交BE的延长线于F,转化到
Rt△ABF中,AB=10,∠BAF=30°,得BF=5;又EF=AD=2,得BE即B到l的距离为3.又DE=AF=5■,在Rt△CBE中,CE=BE·tan76°,CD
=CE-DE≈3×4.01-5×1.73=3.38.这是5分钟的航程,显见每小时航行3.38×12≈40.6(km),即为所求速度.
对于第27题:某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图象如图中折线所示,该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元,截止到15日进油时的销售利润为5.5万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量)
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答下列问题:
(1)求销售量x为多少时,销售利润为4万元;
(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式;
(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中,哪一段的利润率最大?(直接写出答案)
问题关键就是求A、B、C三点的坐标.利用小学就熟知的结论:■=数量,每升获利1元,获利4万元,售出油4万升,解决了第1小题,求出A(4,4);同理,13日到15日,获利1.5万元,由于每升获利1.5元,售出油1万升,故B(5,5.5);15日到月底又售出5万升,其中4万升进价为4.5元/升,共获利4+1.5
=5.5万元,得C(10,11).坐标确定后,第2、3小题即可解决.我不禁自问:作为倒数第2题会这么简单吗?全卷做完后又重新思考本题后,才松了口气.
K同学说:轮到我来说啦,我认为数形结合是数学的基本思想.请看第24题:如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.
(1)求点A与点C的坐标;
(2) 当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.
二次函数y=ax2+bx的顶点在二次函数y=x2-2x-1的对称轴上,说明这两个二次函数的对称轴相同,都是x=1.利用抛物线的对称性,可得C(2,0).四边形AOBC为菱形,其对角线互相垂直、平分,得A、B关于x轴对称,易得A(1,-2),则B(1,2).设所求函数关系式为y=a(x-h)2+k=a(x-1)2+2,
O(0,0)在图象上,所以a+2=0,得a=-2,二次函数为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.当然利用B、C两点在图象上求待定系数a、b也可.不过一般情况下,求一个待定系数总比求两个待定系数要简便.
第28题:如图,已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4).动点C从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标;
(2)以点C为圆心、■t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.
①当⊙C与射线DE有公共点时,求t的取值范围;
②当△PAB为等腰三角形时,求t的值.
第一问是铺垫,一般都能求出.全卷的难点就在第二问,我先谈谈题①,求⊙C与射线DE有公共点时t值的范围.由题设知MC=t,随时间t的增加,C点向左移动,MC在增大,⊙C的半径■也在增大.当A到达D点时,⊙C与射线DE交于D.C点继续向左运动时,⊙C与射线DE仍相交,因此A点的横坐标小于或等于3.即xA=5-t-■=5-■t≤3,解得t≥■.随t值的增加,交点是否始终存在?我考虑了特殊情况:当C到达原点O时,⊙C的半径为■,O到DE的距离是■,由于■>■,⊙C与DE相交.它给我的启发是只有⊙C的半径大于或等于C到DE的距离时,才有交点.
过C作CF⊥DE于F,CF=CD·sin∠CDF,而在Rt△EOD中,sin∠CDE=■,又CD
=t-2,所以CF=■(t-2).于是■(t-2)
≤■,解得t≤■,结论是■≤t≤■.由图形变化的启示,探求数所满足的规律,这是解题的关键.
小清说:我来分析题②,△PAB为等腰三角形,有三种可能,即分别以P、A、B为顶角的顶点.
当P为顶角的顶点时,AB为底,得PC⊥AB,有xP=xC,3-■t=5-t,解得t=5;
当B为顶角的顶点时,BP=BA.过P作PK⊥x轴,在Rt△PBK中,BP 2=(■t)2
+[(5-■)-(3-■t)]2=■t2+(2+■)2,BA2=t2,得■t2+(2+■)2=t2,化简得7t2
-8t-80=0,解得t1=4,t2=-■(舍去);
当A为顶角的顶点时,有AP=AB,解得t1=■,t2=■.
S同学说:同学们都讲了几种常用的数学思想,我来谈谈需要同时运用几种数学思想的综合题吧.选择题最后一题即第8题:下面是按一定规律排列的一列数:
第1个数:■-1+■;
第2个数:■-1+■1+■1+■;
第3个数:■-1+■1+■1+■1+■1+■;
……
第n个数:■-1+■1+■1+■…1+■.
那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是( ).
A.第10个数B.第11个数C.第12个数D.第13个数
从何下手?遵循在操作中探索的原则,通过实际计算第1个数为■-(1
-■)=■-■=0,第2个数为■-(1-■)(1+■)(1-■)=■-■×■×■=■
-■,第3个数为■-(1-■)(1+■)(1-■)(1+■)(1-■)=■-■×■×■×■×■=■-■.是否减数都是■呢?第4个数的减数是第3个数的减数乘上(1
+■)(1-■)=■·■=1,该数为■-■.由特殊情况归纳得:这一列数的减数都是■,于是等10、11、12、13个数依次为■-■、■-■、■-■、■-■,其中最大的数是■-■,即第10个数最大.
第26题:(1)观察与发现
小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.
(2)实践与运用
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D′处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.
实际用纸折一下,肯定有启发.对折叠问题的研究表明:折前、折后这两个全等图形以折痕为对称轴组成轴对称图形,所以对于(1),由∠BAD=∠CAD,得AD是∠BAC的平分线;A与D重合,说明EF是AD的垂直平分线,即EF⊥AD,显见△AEF为等腰三角形.
对于(2),由∠AEB=∠FEB=45°,∠BFE=∠A=90°,又EG为折痕,∠BEG=∠DEG=■(90°+45°)=67.5°,∠α=∠BEG-∠BEF=67.5°-45°=22.5°.
一般的探索型试题通常要用探求的结论去解题,探求实际上是指出解题的方向.而本题(2)实践与运用与(1)的结论△AEF为等腰三角形却没有联系,所以我怀疑是否搞错了,我用纸折了折,肯定结果是正确的.(请你折一折!)
听完同学们的发言,Z老师说:大家平时在学习知识时注重对数学思想方法的探究,在中考中就能充分地运用,从而尽快找到简捷的解题思路,这真应了一句俗话:“磨刀不误砍柴功!”中考结束后还能来重新审视这份试题,没有把中考看成数学学习的最终目标,是一个很好的学习习惯.
W同学首先发言,谈的是整体思想.2009年江苏中考试卷第18题是填空的压轴题,题目为:
如图,已知EF是梯形ABCD的中位线,△DEF的面积为4cm2,则梯形ABCD的面积为 cm2.
梯形面积等于中位线乘高,乍一看已知条件只有一个,即△DEF的面积为4cm2,似乎条件不足,而整体化思想启示:△DEF的底边EF是梯形的中位线,其高是梯形高的一半,这就是说梯形中位线与高的乘积的■为4,所以梯形面积为16.
对于第14题:若3a2-a-2=0,则5+2a-6a2= .
由3a2-a-2=0易得a=1,a=-■.代入计算,原式=1.而整体化思想启示:a
-3a2=-2,原式=5+2(a-3a2)=1.解法更简明.
H同学说:我着重谈谈转化思想.
第25题,如图,在航线l的两侧分别有观测点A和B,点A到航线l的距离为2km,点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处,现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处,正沿该航线自西向东航行,5min后该轮船行至点A的正北方向的D处.
(1)求观测点B到航线l的距离;
(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h).(参考数据:■≈1.73,sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
结合题意,过A作BE的垂线,交BE的延长线于F,转化到
Rt△ABF中,AB=10,∠BAF=30°,得BF=5;又EF=AD=2,得BE即B到l的距离为3.又DE=AF=5■,在Rt△CBE中,CE=BE·tan76°,CD
=CE-DE≈3×4.01-5×1.73=3.38.这是5分钟的航程,显见每小时航行3.38×12≈40.6(km),即为所求速度.
对于第27题:某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图象如图中折线所示,该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元,截止到15日进油时的销售利润为5.5万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量)
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答下列问题:
(1)求销售量x为多少时,销售利润为4万元;
(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式;
(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中,哪一段的利润率最大?(直接写出答案)
问题关键就是求A、B、C三点的坐标.利用小学就熟知的结论:■=数量,每升获利1元,获利4万元,售出油4万升,解决了第1小题,求出A(4,4);同理,13日到15日,获利1.5万元,由于每升获利1.5元,售出油1万升,故B(5,5.5);15日到月底又售出5万升,其中4万升进价为4.5元/升,共获利4+1.5
=5.5万元,得C(10,11).坐标确定后,第2、3小题即可解决.我不禁自问:作为倒数第2题会这么简单吗?全卷做完后又重新思考本题后,才松了口气.
K同学说:轮到我来说啦,我认为数形结合是数学的基本思想.请看第24题:如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.
(1)求点A与点C的坐标;
(2) 当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.
二次函数y=ax2+bx的顶点在二次函数y=x2-2x-1的对称轴上,说明这两个二次函数的对称轴相同,都是x=1.利用抛物线的对称性,可得C(2,0).四边形AOBC为菱形,其对角线互相垂直、平分,得A、B关于x轴对称,易得A(1,-2),则B(1,2).设所求函数关系式为y=a(x-h)2+k=a(x-1)2+2,
O(0,0)在图象上,所以a+2=0,得a=-2,二次函数为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.当然利用B、C两点在图象上求待定系数a、b也可.不过一般情况下,求一个待定系数总比求两个待定系数要简便.
第28题:如图,已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4).动点C从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标;
(2)以点C为圆心、■t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.
①当⊙C与射线DE有公共点时,求t的取值范围;
②当△PAB为等腰三角形时,求t的值.
第一问是铺垫,一般都能求出.全卷的难点就在第二问,我先谈谈题①,求⊙C与射线DE有公共点时t值的范围.由题设知MC=t,随时间t的增加,C点向左移动,MC在增大,⊙C的半径■也在增大.当A到达D点时,⊙C与射线DE交于D.C点继续向左运动时,⊙C与射线DE仍相交,因此A点的横坐标小于或等于3.即xA=5-t-■=5-■t≤3,解得t≥■.随t值的增加,交点是否始终存在?我考虑了特殊情况:当C到达原点O时,⊙C的半径为■,O到DE的距离是■,由于■>■,⊙C与DE相交.它给我的启发是只有⊙C的半径大于或等于C到DE的距离时,才有交点.
过C作CF⊥DE于F,CF=CD·sin∠CDF,而在Rt△EOD中,sin∠CDE=■,又CD
=t-2,所以CF=■(t-2).于是■(t-2)
≤■,解得t≤■,结论是■≤t≤■.由图形变化的启示,探求数所满足的规律,这是解题的关键.
小清说:我来分析题②,△PAB为等腰三角形,有三种可能,即分别以P、A、B为顶角的顶点.
当P为顶角的顶点时,AB为底,得PC⊥AB,有xP=xC,3-■t=5-t,解得t=5;
当B为顶角的顶点时,BP=BA.过P作PK⊥x轴,在Rt△PBK中,BP 2=(■t)2
+[(5-■)-(3-■t)]2=■t2+(2+■)2,BA2=t2,得■t2+(2+■)2=t2,化简得7t2
-8t-80=0,解得t1=4,t2=-■(舍去);
当A为顶角的顶点时,有AP=AB,解得t1=■,t2=■.
S同学说:同学们都讲了几种常用的数学思想,我来谈谈需要同时运用几种数学思想的综合题吧.选择题最后一题即第8题:下面是按一定规律排列的一列数:
第1个数:■-1+■;
第2个数:■-1+■1+■1+■;
第3个数:■-1+■1+■1+■1+■1+■;
……
第n个数:■-1+■1+■1+■…1+■.
那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是( ).
A.第10个数B.第11个数C.第12个数D.第13个数
从何下手?遵循在操作中探索的原则,通过实际计算第1个数为■-(1
-■)=■-■=0,第2个数为■-(1-■)(1+■)(1-■)=■-■×■×■=■
-■,第3个数为■-(1-■)(1+■)(1-■)(1+■)(1-■)=■-■×■×■×■×■=■-■.是否减数都是■呢?第4个数的减数是第3个数的减数乘上(1
+■)(1-■)=■·■=1,该数为■-■.由特殊情况归纳得:这一列数的减数都是■,于是等10、11、12、13个数依次为■-■、■-■、■-■、■-■,其中最大的数是■-■,即第10个数最大.
第26题:(1)观察与发现
小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.
(2)实践与运用
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D′处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.
实际用纸折一下,肯定有启发.对折叠问题的研究表明:折前、折后这两个全等图形以折痕为对称轴组成轴对称图形,所以对于(1),由∠BAD=∠CAD,得AD是∠BAC的平分线;A与D重合,说明EF是AD的垂直平分线,即EF⊥AD,显见△AEF为等腰三角形.
对于(2),由∠AEB=∠FEB=45°,∠BFE=∠A=90°,又EG为折痕,∠BEG=∠DEG=■(90°+45°)=67.5°,∠α=∠BEG-∠BEF=67.5°-45°=22.5°.
一般的探索型试题通常要用探求的结论去解题,探求实际上是指出解题的方向.而本题(2)实践与运用与(1)的结论△AEF为等腰三角形却没有联系,所以我怀疑是否搞错了,我用纸折了折,肯定结果是正确的.(请你折一折!)
听完同学们的发言,Z老师说:大家平时在学习知识时注重对数学思想方法的探究,在中考中就能充分地运用,从而尽快找到简捷的解题思路,这真应了一句俗话:“磨刀不误砍柴功!”中考结束后还能来重新审视这份试题,没有把中考看成数学学习的最终目标,是一个很好的学习习惯.