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一、培养大学生数学素养的重要性
目前数学教育“重知识轻文化”的倾向十分明显。大学数学教育多半以讲授数学知识及其应用为主,对于数学在思想、精神及人文方面的一些内容很少涉及。数学教学中存在重结论不重证明、重计算不重推理、重知识不重思想的倾向;而学生为了应付考试,也常以“类型题”的方式去学习、复习。这些倾向和做法一定程度上影响了学生学习数学的兴趣和能力素质的提高。
大学数学教育既是科学素质的教育,同时也是一种文化素质的教育。大学数学课程不仅要传授知识,更要传授数学精神和近、现代数学思想方法,以提高学生的思维能力,锻炼其意志品质,培养他们的数学素养。所谓数学素养,概括地讲就是指灵活运用数学的理论和方法观察、分析、解决问题的能力,具体地讲包括看问题的数学角度、有条理的理性思维、逻辑推理的能力和习惯、合理地量化和简化的素质。数学素养正是使人终生受益的精华,因此提高学生的数学素养对教师来讲比教会学生做题更重要。
事实上,数学不仅是一种重要的工具或方法,也是一种思维模式,即数学式的理性思维;数学不仅是一门科学,也是一种文化,即数学文化;数学不仅是一些知识,也是一种素质,即数学素养。
在大学数学教学中如何挖掘内容中所蕴含的数学思想方法,如何有效地进行数学思想方法教学,如何培养和发展学生的数学思维以提高学生的数学素养,已成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一个重要课题。在大学数学教学中贯彻数学思想、精神,提高学生数学素养势在必行,这是每一个数学教育工作者的庄严使命。我们以“培养大学生数学素养”为课题进行了两年多的探讨、实践、研究,取得了一定的进展,也得到了一些经验。
二、如何培养大学生数学素养
我们始终秉持寓创新性于科学性之中,寓思想性于知识性之中,寓素质教育于数学教学过程之中的基本原则,通过以下几个方面的工作努力提高学生的数学素养。
1.培养数学素养要突出数学学科特点
抽象性、精确性及应用的广泛性是数学的特点,在大学数学教学中要突出这些特点,努力培养学生严谨的科学态度。
数学的抽象性比较集中地体现在数学的概念、定理、命题中,正是高度的抽象性帮助我们抓住了事物的共性和本质。把实际问题转化为数学问题的过程就是一个数学抽象的过程,它要求人们善于把问题中的次要因素、次要关系、次要过程抛在一边,抽出主要因素、主要关系和主要过程,而后化为一个数学问题。这种方法加以拓展,学生在现实生活中遇到各种问题和表象时,就能进行有条理的理性思维,从而抓住事物和问题的本质,潜移默化中逐步地形成认识客观世界的正确方法。
数学的精确性表现为数学定义的准确性、推理和计算的逻辑严格性以及数学结论的确定性。教学中要有意识地加强精确性训练,使学生思维严密,表述简洁准确。极限定义的讲授就是一个最好的例证。
广泛的应用性也是数学的特点之一。正像著名数学家华罗庚曾指出的那样:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,数学无处不在。”高等数学中涉及应用很广泛,比如讲函数,可以举工薪阶层纳税问题,个人应交税款与薪金所得之间就是一个分段函数;讲导数,可以举拉船靠岸问题和人在月球上能跳多高等学生感兴趣的问题;讲概率可以举抽签问题和生日问题;还有诸如购物、控制体重、静脉输液、抵押贷款、火箭速度等等问题都可以用作实践性教学的素材。通过应用性内容教学,不仅激发了学生学习数学的兴趣,而且使学生逐步学会了应用所学的数学知识来解决身边的问题,潜移默化之中提高了数学素养。
2.培养数学素养要加强数学思想方法的渗透
数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映在人的意识中并经过思维活动而产生的结果,是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华,是对数学规律的理性认识,是解决数学问题的灵魂。所谓数学方法,就是数学思想的表现形式,是指在数学思想的指导下,为数学活动提供思路和逻辑手段以及具体操作原则的方法,是解决数学问题的根本策略和程序。
在教学中要重视化归、类比等数学思想的渗透,比如概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、思路的探索过程、规律的揭示过程等等,都是蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好素材。
例如在讲完不定积分之后可对各种积分方法进行归纳小结,概括指出积分计算的指导思想实际上就是化归思想,即化未知为已知,使知识向旧知识转化的思想方法。我们首先要熟记基本积分公式及法则,然后对于一般的、复杂的积分,则可通过恒等变换(三角、代数)、第一换元法、第二换元法、分部积分法以及其它方法(如其它变量替换、待定系数法等)转化为基本积分进行计算,从而达到化繁为简、化难为易的目的,而换元法、分部法以及其它各种方法则只是在积分计算中实现转化的具体手段而已。
再如数的概念的扩充,从自然数扩充到整数、分数、实数、复数等是通过类比思想实现的。通过类比,整数的运算法则逐渐推广到更大的数域中去了,从而发明和建立起了数学分析和复变函数等各门学科。又如讲完数项级数后,可类比得到函数项级数的有关结论;二重积分和三重积分乃至曲线积分、曲面积分的概念和计算都可以用定积分去类比。类比法的应用使学生加深了对前后知识的联系的理解,对学生的学习起到了事半功倍之效。
通过数学思想方法的渗透,可以深深地激发学生对数学学习方法的兴趣和研究,使学生逐步接触到数学乃至自然科学的精髓。
3.培养数学素养要注重数学史的教学
数学史是研究数学的历史,是数学家们克服困难和战胜危机的记录,是蕴涵了丰富数学思想的历史。在授课中适当地贯穿数学史和数学人物的介绍,可以使学生了解数学学科的发展、思想法方法的形成、科学探索的艰辛,这些都有助于学生掌握和理解数学的概念、理论和方法,从而提高数学素养。
例如在高等数学教学中可以介绍无理量的发现过程、微积分和非欧几何的创立、费马大定理的证明等经典史料,学生在学习数学史的过程中就能领会其中所蕴涵的深刻的哲理,这不是通过学习通常的教科书中被“包装”过的定理就能轻而易举得到的。在授课中适当穿插数学人物的介绍,可以使学生了解数学家的曲折人生和在数学上作出的杰出贡献,领略大师的精神风采和人格魅力,达到数学素养和人格修养的双重提高。
在授课中要适当穿插介绍数学与其它学科之间的联系以开拓学生视野,丰富学生知识面。数学与自然科学、哲学、艺术等其他学科之间存在着广泛的联系,甚至是很多学科的基础和生长点,它对人类文明的发展起着巨大的作用。比如海王星的发现过程就是数学和天文学关系密切一个很好的例证;“阿基里斯追不上乌龟”的著名哲学问题,恰好体现了有限与无限的数学思想;数学与物理学更是密不可分,牛顿、笛卡儿等人既是著名的数学家也是著名的物理学家。
在授课中还要适时介绍数学分支、最新的发展及对人类文明的深刻影响,让学生体会数学的科学价值、应用价值和人文价值,培养大学生的科学素养、文化素养和勇于创新的精神。比如二十世纪七、八十年代华罗庚教授大力提倡和推广的优选法、统筹法对实际生产生活产生了巨大的影响;吴文俊教授创立的数学机械化方法在500米射电望远镜的研究和智能计算机的辅助设计等方面得到了广泛应用。
通过以培养大学生数学素养为目标的数学实践,学生们普遍反映数学课较以前有了思想深度,给他们留下长久的思想激荡和对知识的深刻理解。学生们体会到在学习了大学数学后思维方式、分析处理问题的方法和以前相比有了较大的不同,看待问题与事物更客观、理性,处理问题更加合理、全面,这种思维方式不仅对他们的学习有帮助,同时其影响也延伸到了日常生活中,使他们处理日常生活中的关系与问题时也更加成熟。
可见,通过数学知识的传授、数学观念的培养和现代数学思想的熏陶,学生在一定程度上形成了一种“现代数学头脑”,他们在观察问题、提出问题和解决问题的每一个过程中,都带有鲜明的“数学色彩”,这就是数学素养。重素养的数学教学明显拉近了学生与数学的距离,使学生开阔眼界,感受到了数学之美,领略了数学大家的风采,了解了数学与其它学科的联系和数学各分支产生的背景及其最新发展。重素养的数学教学使学生对数学的思想、方法、文化有了一个全面的、深刻的了解,学生在一定程度上具备了数学的理性思维方式、逻辑推理能力和合理地量化、简化及运筹帷幄的素质。
参考文献:
[1]张顺燕.数学的美与理[M].北京:北京大学出版社,2004.
[2]M.克莱因著,张理京、张锦炎等译.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,1979.
[3]Kline M.Mathematics in Western Culture,Oxford University Press,N.Y.,1953.
[4]Anglin W S and Lambek J.The Heritage of Thales.Springer,1995.
[5]边军辉.顾客有休假期的排队系统的研究及其改进[J].长春师范学院学报(自然科学版),2006(1)18 :22.
[6]边军辉,李旭东,杨晓忠.超市收费排队系统的性能比较及其进一步优化[J].现代电子技术,2006(12)36:38.
[7]庞秀梅,边军辉.多重休假的带启动-关闭期的Geom/G/1//FCLS排队的等待时间分布[J].东北师范大学学报(自然科学版),2007(7)5 :8.
[8]边军辉,庞秀梅,尹文运.为顾客设置休假期的排队系统中的休假顾客的平均等待时间[J].山东师范大学学报(自然科学版),2008(1)15 :16.
[9]边军辉,庞秀梅,尹文运. 反馈后优先排队但非抢占的排队系统中的顾客数分布的初步分析[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2008(2)84 :86.
目前数学教育“重知识轻文化”的倾向十分明显。大学数学教育多半以讲授数学知识及其应用为主,对于数学在思想、精神及人文方面的一些内容很少涉及。数学教学中存在重结论不重证明、重计算不重推理、重知识不重思想的倾向;而学生为了应付考试,也常以“类型题”的方式去学习、复习。这些倾向和做法一定程度上影响了学生学习数学的兴趣和能力素质的提高。
大学数学教育既是科学素质的教育,同时也是一种文化素质的教育。大学数学课程不仅要传授知识,更要传授数学精神和近、现代数学思想方法,以提高学生的思维能力,锻炼其意志品质,培养他们的数学素养。所谓数学素养,概括地讲就是指灵活运用数学的理论和方法观察、分析、解决问题的能力,具体地讲包括看问题的数学角度、有条理的理性思维、逻辑推理的能力和习惯、合理地量化和简化的素质。数学素养正是使人终生受益的精华,因此提高学生的数学素养对教师来讲比教会学生做题更重要。
事实上,数学不仅是一种重要的工具或方法,也是一种思维模式,即数学式的理性思维;数学不仅是一门科学,也是一种文化,即数学文化;数学不仅是一些知识,也是一种素质,即数学素养。
在大学数学教学中如何挖掘内容中所蕴含的数学思想方法,如何有效地进行数学思想方法教学,如何培养和发展学生的数学思维以提高学生的数学素养,已成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一个重要课题。在大学数学教学中贯彻数学思想、精神,提高学生数学素养势在必行,这是每一个数学教育工作者的庄严使命。我们以“培养大学生数学素养”为课题进行了两年多的探讨、实践、研究,取得了一定的进展,也得到了一些经验。
二、如何培养大学生数学素养
我们始终秉持寓创新性于科学性之中,寓思想性于知识性之中,寓素质教育于数学教学过程之中的基本原则,通过以下几个方面的工作努力提高学生的数学素养。
1.培养数学素养要突出数学学科特点
抽象性、精确性及应用的广泛性是数学的特点,在大学数学教学中要突出这些特点,努力培养学生严谨的科学态度。
数学的抽象性比较集中地体现在数学的概念、定理、命题中,正是高度的抽象性帮助我们抓住了事物的共性和本质。把实际问题转化为数学问题的过程就是一个数学抽象的过程,它要求人们善于把问题中的次要因素、次要关系、次要过程抛在一边,抽出主要因素、主要关系和主要过程,而后化为一个数学问题。这种方法加以拓展,学生在现实生活中遇到各种问题和表象时,就能进行有条理的理性思维,从而抓住事物和问题的本质,潜移默化中逐步地形成认识客观世界的正确方法。
数学的精确性表现为数学定义的准确性、推理和计算的逻辑严格性以及数学结论的确定性。教学中要有意识地加强精确性训练,使学生思维严密,表述简洁准确。极限定义的讲授就是一个最好的例证。
广泛的应用性也是数学的特点之一。正像著名数学家华罗庚曾指出的那样:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,数学无处不在。”高等数学中涉及应用很广泛,比如讲函数,可以举工薪阶层纳税问题,个人应交税款与薪金所得之间就是一个分段函数;讲导数,可以举拉船靠岸问题和人在月球上能跳多高等学生感兴趣的问题;讲概率可以举抽签问题和生日问题;还有诸如购物、控制体重、静脉输液、抵押贷款、火箭速度等等问题都可以用作实践性教学的素材。通过应用性内容教学,不仅激发了学生学习数学的兴趣,而且使学生逐步学会了应用所学的数学知识来解决身边的问题,潜移默化之中提高了数学素养。
2.培养数学素养要加强数学思想方法的渗透
数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映在人的意识中并经过思维活动而产生的结果,是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华,是对数学规律的理性认识,是解决数学问题的灵魂。所谓数学方法,就是数学思想的表现形式,是指在数学思想的指导下,为数学活动提供思路和逻辑手段以及具体操作原则的方法,是解决数学问题的根本策略和程序。
在教学中要重视化归、类比等数学思想的渗透,比如概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、思路的探索过程、规律的揭示过程等等,都是蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好素材。
例如在讲完不定积分之后可对各种积分方法进行归纳小结,概括指出积分计算的指导思想实际上就是化归思想,即化未知为已知,使知识向旧知识转化的思想方法。我们首先要熟记基本积分公式及法则,然后对于一般的、复杂的积分,则可通过恒等变换(三角、代数)、第一换元法、第二换元法、分部积分法以及其它方法(如其它变量替换、待定系数法等)转化为基本积分进行计算,从而达到化繁为简、化难为易的目的,而换元法、分部法以及其它各种方法则只是在积分计算中实现转化的具体手段而已。
再如数的概念的扩充,从自然数扩充到整数、分数、实数、复数等是通过类比思想实现的。通过类比,整数的运算法则逐渐推广到更大的数域中去了,从而发明和建立起了数学分析和复变函数等各门学科。又如讲完数项级数后,可类比得到函数项级数的有关结论;二重积分和三重积分乃至曲线积分、曲面积分的概念和计算都可以用定积分去类比。类比法的应用使学生加深了对前后知识的联系的理解,对学生的学习起到了事半功倍之效。
通过数学思想方法的渗透,可以深深地激发学生对数学学习方法的兴趣和研究,使学生逐步接触到数学乃至自然科学的精髓。
3.培养数学素养要注重数学史的教学
数学史是研究数学的历史,是数学家们克服困难和战胜危机的记录,是蕴涵了丰富数学思想的历史。在授课中适当地贯穿数学史和数学人物的介绍,可以使学生了解数学学科的发展、思想法方法的形成、科学探索的艰辛,这些都有助于学生掌握和理解数学的概念、理论和方法,从而提高数学素养。
例如在高等数学教学中可以介绍无理量的发现过程、微积分和非欧几何的创立、费马大定理的证明等经典史料,学生在学习数学史的过程中就能领会其中所蕴涵的深刻的哲理,这不是通过学习通常的教科书中被“包装”过的定理就能轻而易举得到的。在授课中适当穿插数学人物的介绍,可以使学生了解数学家的曲折人生和在数学上作出的杰出贡献,领略大师的精神风采和人格魅力,达到数学素养和人格修养的双重提高。
在授课中要适当穿插介绍数学与其它学科之间的联系以开拓学生视野,丰富学生知识面。数学与自然科学、哲学、艺术等其他学科之间存在着广泛的联系,甚至是很多学科的基础和生长点,它对人类文明的发展起着巨大的作用。比如海王星的发现过程就是数学和天文学关系密切一个很好的例证;“阿基里斯追不上乌龟”的著名哲学问题,恰好体现了有限与无限的数学思想;数学与物理学更是密不可分,牛顿、笛卡儿等人既是著名的数学家也是著名的物理学家。
在授课中还要适时介绍数学分支、最新的发展及对人类文明的深刻影响,让学生体会数学的科学价值、应用价值和人文价值,培养大学生的科学素养、文化素养和勇于创新的精神。比如二十世纪七、八十年代华罗庚教授大力提倡和推广的优选法、统筹法对实际生产生活产生了巨大的影响;吴文俊教授创立的数学机械化方法在500米射电望远镜的研究和智能计算机的辅助设计等方面得到了广泛应用。
通过以培养大学生数学素养为目标的数学实践,学生们普遍反映数学课较以前有了思想深度,给他们留下长久的思想激荡和对知识的深刻理解。学生们体会到在学习了大学数学后思维方式、分析处理问题的方法和以前相比有了较大的不同,看待问题与事物更客观、理性,处理问题更加合理、全面,这种思维方式不仅对他们的学习有帮助,同时其影响也延伸到了日常生活中,使他们处理日常生活中的关系与问题时也更加成熟。
可见,通过数学知识的传授、数学观念的培养和现代数学思想的熏陶,学生在一定程度上形成了一种“现代数学头脑”,他们在观察问题、提出问题和解决问题的每一个过程中,都带有鲜明的“数学色彩”,这就是数学素养。重素养的数学教学明显拉近了学生与数学的距离,使学生开阔眼界,感受到了数学之美,领略了数学大家的风采,了解了数学与其它学科的联系和数学各分支产生的背景及其最新发展。重素养的数学教学使学生对数学的思想、方法、文化有了一个全面的、深刻的了解,学生在一定程度上具备了数学的理性思维方式、逻辑推理能力和合理地量化、简化及运筹帷幄的素质。
参考文献:
[1]张顺燕.数学的美与理[M].北京:北京大学出版社,2004.
[2]M.克莱因著,张理京、张锦炎等译.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,1979.
[3]Kline M.Mathematics in Western Culture,Oxford University Press,N.Y.,1953.
[4]Anglin W S and Lambek J.The Heritage of Thales.Springer,1995.
[5]边军辉.顾客有休假期的排队系统的研究及其改进[J].长春师范学院学报(自然科学版),2006(1)18 :22.
[6]边军辉,李旭东,杨晓忠.超市收费排队系统的性能比较及其进一步优化[J].现代电子技术,2006(12)36:38.
[7]庞秀梅,边军辉.多重休假的带启动-关闭期的Geom/G/1//FCLS排队的等待时间分布[J].东北师范大学学报(自然科学版),2007(7)5 :8.
[8]边军辉,庞秀梅,尹文运.为顾客设置休假期的排队系统中的休假顾客的平均等待时间[J].山东师范大学学报(自然科学版),2008(1)15 :16.
[9]边军辉,庞秀梅,尹文运. 反馈后优先排队但非抢占的排队系统中的顾客数分布的初步分析[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2008(2)84 :86.