论文部分内容阅读
立体几何常要考查我们的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，其中点、线、面的位置关系是考查的重点，而位置关系的探索问题（在线上或是在面内是否存在点满足平行、垂直关系）是大家感觉比较困难的部分，本文就此内容做些探讨．
一、在线上找点满足平行关系
例1如图1所示，在边长为12的正方形[AA′A′1A1]中，[BB1∥CC1∥AA1]，且[AB=3]，[BC=4]，[AA′1]分别交[BB1]，[CC1]于[P、Q]，将该正方形沿[BB1]、[CC1]折叠，使得[AA′1]与[AA1]重合，构成如图2所示的三棱柱[ABC-A1B1C1]，在底边[AC]上是否存在一点[M]，满足[BM∥]平面[APQ]？若存在，试求[AM]，若不存在，请说明理由．
解析假设存在一点[M]满足[BM∥]平面[APQ]，过[M]作[MN∥CQ]交[AQ于N]．
∵[PB∥CQ，∴MN∥PB]．
连接[PN]，因为[BM∥]平面[APQ，][∴BM∥PN]，
∴四边形[PBMN]为平行四边形.
∴[MN=3，AM∶AC=MN∶CQ=3∶7].
∴当[AM=157]时，[BM∥平面APQ.]
点拨先假设在线上存在一点满足线面平行，将要满足的结论当成条件，应用线面平行性质定理以及平行线分线段成比例确定点的位置．
二、在线上找点满足垂直关系
例2如图3所示，正三角形[ABC]的边长为4，[CD]是[AB]边上的高，[E]是[AC]边上的中点，将[△ABC]沿[CD]折叠成直二面角[A－DC－B]，如图4所示. 在线段[BC]上是否存在点[P]，使[AP⊥DE]？并证明结论．
解析在线段[BC]上存在点[P]，使[AP⊥DE.]
证明如下：在线段[BC]上取点[P]，使[BP=13BC]，过[P]作[PQ⊥CD于点Q]，
∴[PQ]⊥平面[ACD.]
∵[DQ=13DC=233]，在等边[△ADE]中，
[∠DAQ=30°， ∴AQ⊥DE， ∴AP⊥DE.]
点拨把[AP]看成平面[ADC]的一条斜线，要使斜线垂直于平面内一条直线，可以使其射影垂直于这条直线，从而转化成在平面内过点[A]找条直线与[DE]垂直．
三、在面内找点满足平行关系
例3如图5所示，在正四棱锥[P-ABCD]中，平面[PBC]内是否存在一点[E]，使得[PA∥平面EBD]？
解析当[E为PC]中点时，[PA∥平面EBD]．
连接[AC]，且[AC⋂BD=O]，
由于四边形[ABCD]为正方形，
∴[O]为[AC]的中点.
又[E]为中点，∴[OE]为[△ACP]的中位线，
∴[PA∥EO]，又[PA⊄平面EBD]，
∴[PA∥平面EBD.]
点拨要使线平行于面，在平面内找条直线与此直线平行即可，由中位线得到平行直线，从而得到面平行于直线．
四、在面内找点满足垂直关系
例4如图6所示，在正四棱锥[P－ABCD]中，[E]是[PB]的中点，在侧面[PAD]内是否存在一点[F]，使[EF]⊥平面[PCB]？
解析取PA的中点R，BC、AD的四等分点靠近B、A的一个，分别为M、S，连接EM、ER、RS、SM，取BC的中点O，连接PO.
∵PB=PC， ∴PO⊥BC.
又∵EM∥PO， ∴EM⊥BC．
∵AB⊥BC，SM∥AB， ∴SM⊥BC．
而ER∥MS，所以可确定平面ERSM，
∴BC⊥平面ERSM．∴面ERSM⊥面PBC，
在平面ERSM中过E点作直线垂直于EM，交RS于点F，即为所求．
点拨要过[E]点找条线垂直于面，可以先找个平面与平面垂直，然后在找到的平面内作交线的垂线即可．而题目条件中有中点，从而想到用中位线．
由以上例子可以发现，解决位置关系的探索问题时，一方面可以先假设点存在，把结论当做条件，应用性质定理从而确定点的位置；另一方面也可以从结论出发，采用逆推分析法，执果索因，从而确定点的位置.
一、在线上找点满足平行关系
例1如图1所示，在边长为12的正方形[AA′A′1A1]中，[BB1∥CC1∥AA1]，且[AB=3]，[BC=4]，[AA′1]分别交[BB1]，[CC1]于[P、Q]，将该正方形沿[BB1]、[CC1]折叠，使得[AA′1]与[AA1]重合，构成如图2所示的三棱柱[ABC-A1B1C1]，在底边[AC]上是否存在一点[M]，满足[BM∥]平面[APQ]？若存在，试求[AM]，若不存在，请说明理由．
解析假设存在一点[M]满足[BM∥]平面[APQ]，过[M]作[MN∥CQ]交[AQ于N]．
∵[PB∥CQ，∴MN∥PB]．
连接[PN]，因为[BM∥]平面[APQ，][∴BM∥PN]，
∴四边形[PBMN]为平行四边形.
∴[MN=3，AM∶AC=MN∶CQ=3∶7].
∴当[AM=157]时，[BM∥平面APQ.]
点拨先假设在线上存在一点满足线面平行，将要满足的结论当成条件，应用线面平行性质定理以及平行线分线段成比例确定点的位置．
二、在线上找点满足垂直关系
例2如图3所示，正三角形[ABC]的边长为4，[CD]是[AB]边上的高，[E]是[AC]边上的中点，将[△ABC]沿[CD]折叠成直二面角[A－DC－B]，如图4所示. 在线段[BC]上是否存在点[P]，使[AP⊥DE]？并证明结论．
解析在线段[BC]上存在点[P]，使[AP⊥DE.]
证明如下：在线段[BC]上取点[P]，使[BP=13BC]，过[P]作[PQ⊥CD于点Q]，
∴[PQ]⊥平面[ACD.]
∵[DQ=13DC=233]，在等边[△ADE]中，
[∠DAQ=30°， ∴AQ⊥DE， ∴AP⊥DE.]
点拨把[AP]看成平面[ADC]的一条斜线，要使斜线垂直于平面内一条直线，可以使其射影垂直于这条直线，从而转化成在平面内过点[A]找条直线与[DE]垂直．
三、在面内找点满足平行关系
例3如图5所示，在正四棱锥[P-ABCD]中，平面[PBC]内是否存在一点[E]，使得[PA∥平面EBD]？
解析当[E为PC]中点时，[PA∥平面EBD]．
连接[AC]，且[AC⋂BD=O]，
由于四边形[ABCD]为正方形，
∴[O]为[AC]的中点.
又[E]为中点，∴[OE]为[△ACP]的中位线，
∴[PA∥EO]，又[PA⊄平面EBD]，
∴[PA∥平面EBD.]
点拨要使线平行于面，在平面内找条直线与此直线平行即可，由中位线得到平行直线，从而得到面平行于直线．
四、在面内找点满足垂直关系
例4如图6所示，在正四棱锥[P－ABCD]中，[E]是[PB]的中点，在侧面[PAD]内是否存在一点[F]，使[EF]⊥平面[PCB]？
解析取PA的中点R，BC、AD的四等分点靠近B、A的一个，分别为M、S，连接EM、ER、RS、SM，取BC的中点O，连接PO.
∵PB=PC， ∴PO⊥BC.
又∵EM∥PO， ∴EM⊥BC．
∵AB⊥BC，SM∥AB， ∴SM⊥BC．
而ER∥MS，所以可确定平面ERSM，
∴BC⊥平面ERSM．∴面ERSM⊥面PBC，
在平面ERSM中过E点作直线垂直于EM，交RS于点F，即为所求．
点拨要过[E]点找条线垂直于面，可以先找个平面与平面垂直，然后在找到的平面内作交线的垂线即可．而题目条件中有中点，从而想到用中位线．
由以上例子可以发现，解决位置关系的探索问题时，一方面可以先假设点存在，把结论当做条件，应用性质定理从而确定点的位置；另一方面也可以从结论出发，采用逆推分析法，执果索因，从而确定点的位置.