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【摘要】在学习数学的过程中，很多学生还只是停留在具体知识、技能的掌握上，对于为什么要选择该方法缺乏思考，对于自己在学习过程中思维的合理性也缺乏思考与反思.要解决这个问题，要求教师在课堂教学中强化学生的反思意识，探索知识内在联系，找到思维“痛点”，展示思维过程，培养学生对自身学习过程进行反思，并督促学生养成反思的习惯.
【关键词】课堂教学;有效反思;高中数学
一、问题提出
在直线和圆中有这样一个经典例题：
引例 过点p（1，-2）作圆x2 y2=1的切线，求切线方程.
2014届某校文科班有超过三分之一的学生的解答只有一条直线，当老师在讲评时，学生们又都反应过来：还有一条直线的斜率不存在.是什么原因使得超过三分之一的学生忘记斜率不存在的情形？一方面，学生对直线的斜率存在性的讨论掌握得不够好;另一方面，只有老师稍加提醒，绝大多数学生都能正确回答，不仅仅是掌握得不好的原因，学生们缺少对解题结果的反思，不能在解题之后马上发现自己的问题.
波利亚提出的数学解题思维过程的四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾.这四个阶段的思维实质可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思.反思可以巩固学生的知识和发展他们解题的能力，它是解题必不可少的一环，可学生却很少真正重视这个环节.一方面，由于学生对解题的误解，以完成任务的态度来完成作业，而不是把它作为巩固知识、发展能力的手段;另一方面，现在学生的作业负担比较重，很少有时间去反思.于是在数学课堂上有意识地引导学生进行反思是改变这一状况的“板砖”.
二、精心设计课堂教学，引导学生有效反思
课堂教学是教师影响学生的主要环境，对于学生的整体“软肋”，教师可以通过精心的设计来有意识地培养提高.引导学生反思，也应是现在“忙碌”的学生的一个“软肋”，通过课堂上教师的预设引导来提高学生的反思意识.
1.探索知识内在联系，帮助学生反思与记忆
数学学习重在理解，数学理解的本质是数学知识的结构化、网络化和丰富联系;建构主义认为数学理解也是数学认知结构建构和知识意义建构的过程.而反思正好切合了建构主义的理念，通过反思可以有效地建构知识的网络和联系，还可以帮助学生建立起有效的记忆.
在学习完诱导公式之后，给出助记口诀：奇变偶不变，符号看象限.很多学生都有个疑问：为什么要把角α看作是第一象限角？教师在教学设计时设计如下问题串：
（1）角α一定是第一象限角吗？
（2）是否可以把角α看成第二象限角？
（3）对比两种方法，说明把角α看作是第一象限角的合理性.
通过学生验证第二个问题，再与角α看作第一象限角比较哪种方案更合理简单.
教师在教学设计时顺思而为：利用学生的疑问，步步紧逼，引导学生反思，揭示知识的内在本质，不仅提高学生对数学知识的理解记忆，而且提升了学生的数学思维.
2.找到思维“痛点”，促学生有效反思
越是不会做的题目，越要积极思考，因为你只做你会做的题目，永远没有进步;越是看不懂的复杂式子，越要努力转化化归，因为只要化出来了，题目就变成基本问题了;越是容易疏忽的地方，越要反思，因为人的思维总难完美，只有不断反思才能趋于完美.
例 已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且|a b|≤2a·b，求cos（α-β）的值.
错解 将|a b|≤2a·b两边平方得：a2 2a·b b2≤4（a·b）2.
又因为：a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），所以|a|=|b|=1，a·b=cosαcosβ sinαsinβ=cos（α-β）.
所以2cos2（α-β）-cos（α-β）-1≥0，
解得：cos（α-β）≤-12或cos（α-β）≥1.
又cos（α-β）∈[-1，1]，所以cos（α-β）∈-1，-12∪{1}.
正解 由|a b|≤2a·b可得：a2 2a·b b2≤4（a·b）2
a·b≥0 ，所以cos（α-β）=1.
“平方会产生增根”在初中时就有训练，当时很多学生只知道要检验，而没有思考为什么要检验.这在学生的思维中形成一个“痛点”，凡是涉及这个“痛点”，很多学生不能正确地完成.这就要求教师在教学设计中，对常见的痛点如“平方会产生增根”“二次项系数是否为零”“等式两边约去公因式丢根”“换元、消元时范围同步变化”“斜率存在性的讨论”，不仅要设计“陷阱”，让学生们多上几次“当”，更要让学生反思问题所在，积极地“治疗痛点”，形成防御，完善思维.
3.示范引领，培养题后反思的习惯
学生很少反思，关键不是教师不引导，而是学生也知道要反思自己的学习，但也往往停留在思想里，没有养成反思的习惯，就没有反思的行动.因此，教师首先要以身作则，在课堂教学中做好示范;其次，教师更要督促学生反思习惯的养成.
课堂上教师的讲解一定要有示范引领作用，教师要重视题后反思，严格规范执行题后反思，学生才会重视题后反思，才会执行题后反思，才会学会题后反思.一般对题后反思要做好以下几点：
对解题方法、思想的反思！波利亚说：“当你找到第一个蘑菇后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的.”在解题教学中，解题后的反思不单是简单的回顾或检验，而应引导学生仔细分析问题的结构特点，寻找各科知识的交叉点，总结、理清、概括思路，做到举一反三、触类旁通，以培养学生的发散思维和知识迁移能力.
对解题正确性的反思！每个人都会犯错误，犯错误不要紧，要紧的是犯了之后怎么办.为了避免错误，找到错误，我们要检验.而检验正是对解题正确性的一种反思.怎样快速地检验解题是否正确呢？举特例验证，是一个非常好用的方法.
对题目本身的反思！引导学生对命题进行条件弱化和结论加强、推广、引申等的反思.培养学生的发散思维，串联相关知识.
4.展示思维过程，培养对自身学习过程的反思
在学习数学的过程中，学生往往都是模仿教师或教材上的方法，对于为什么要选择该方法缺乏思考，对于自己在学习过程中思维的合理性也缺乏思考与反思，这说明很多学生的数学学习还只是停留在具体知识、技能的掌握上，“没有认识到数学学习过程也是一个观点、信念、态度等的形成过程，没有认识到数学是人类的创造性活动，具体的数学活动是一个包含了猜测、检验、错误、放弃、调节、形成假设、演绎推理、一般化等的复杂过程”，而在这个过程中，自我反思与调节起着极其重要的作用，只有在教學中不断地引导学生反思自己的学习过程，才能让学生建立起有效数学观和数学学习观.
在教学中，教师可以适当地设计一些展示教师的试错—调整的思维过程的问题，让学生理解不是每个问题解决过程都是一帆风顺的，这个过程往往是曲折的，只有不断地尝试不断地反思调整自己的思路才能取得成功.
三、对引导学生有效反思的反思
反思不仅仅是数学的事情，也不仅仅在数学课堂上，俗话说“举一反三”，它应该是关系到所有学科，并且应该时时刻刻地进行.学会了反思，在很大的程度上讲就是学会了学习.只有对已有的知识和方法有了深刻的反思，才能推陈出新，课程标准要培养学生的创新能力的目标就实现了，为了学生的终身学习的理念也前进了一大步.
如何设计才能引导学生有效反思，是我们在教学中要积极探索和反思的，以上的一些做法的有效性如何，还需要教学实践的进一步检验.要设计出更贴合学生的设计，还需不断实践研究.
【参考文献】
[1]波利亚，阎育苏，译.怎样解题.北京：科学出版社，1982.
[2]章建跃.中学生数学学科自我监控能力. 上海：华东师范大学出版社，2003：68-69.
【关键词】课堂教学;有效反思;高中数学
一、问题提出
在直线和圆中有这样一个经典例题：
引例 过点p（1，-2）作圆x2 y2=1的切线，求切线方程.
2014届某校文科班有超过三分之一的学生的解答只有一条直线，当老师在讲评时，学生们又都反应过来：还有一条直线的斜率不存在.是什么原因使得超过三分之一的学生忘记斜率不存在的情形？一方面，学生对直线的斜率存在性的讨论掌握得不够好;另一方面，只有老师稍加提醒，绝大多数学生都能正确回答，不仅仅是掌握得不好的原因，学生们缺少对解题结果的反思，不能在解题之后马上发现自己的问题.
波利亚提出的数学解题思维过程的四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾.这四个阶段的思维实质可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思.反思可以巩固学生的知识和发展他们解题的能力，它是解题必不可少的一环，可学生却很少真正重视这个环节.一方面，由于学生对解题的误解，以完成任务的态度来完成作业，而不是把它作为巩固知识、发展能力的手段;另一方面，现在学生的作业负担比较重，很少有时间去反思.于是在数学课堂上有意识地引导学生进行反思是改变这一状况的“板砖”.
二、精心设计课堂教学，引导学生有效反思
课堂教学是教师影响学生的主要环境，对于学生的整体“软肋”，教师可以通过精心的设计来有意识地培养提高.引导学生反思，也应是现在“忙碌”的学生的一个“软肋”，通过课堂上教师的预设引导来提高学生的反思意识.
1.探索知识内在联系，帮助学生反思与记忆
数学学习重在理解，数学理解的本质是数学知识的结构化、网络化和丰富联系;建构主义认为数学理解也是数学认知结构建构和知识意义建构的过程.而反思正好切合了建构主义的理念，通过反思可以有效地建构知识的网络和联系，还可以帮助学生建立起有效的记忆.
在学习完诱导公式之后，给出助记口诀：奇变偶不变，符号看象限.很多学生都有个疑问：为什么要把角α看作是第一象限角？教师在教学设计时设计如下问题串：
（1）角α一定是第一象限角吗？
（2）是否可以把角α看成第二象限角？
（3）对比两种方法，说明把角α看作是第一象限角的合理性.
通过学生验证第二个问题，再与角α看作第一象限角比较哪种方案更合理简单.
教师在教学设计时顺思而为：利用学生的疑问，步步紧逼，引导学生反思，揭示知识的内在本质，不仅提高学生对数学知识的理解记忆，而且提升了学生的数学思维.
2.找到思维“痛点”，促学生有效反思
越是不会做的题目，越要积极思考，因为你只做你会做的题目，永远没有进步;越是看不懂的复杂式子，越要努力转化化归，因为只要化出来了，题目就变成基本问题了;越是容易疏忽的地方，越要反思，因为人的思维总难完美，只有不断反思才能趋于完美.
例 已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且|a b|≤2a·b，求cos（α-β）的值.
错解 将|a b|≤2a·b两边平方得：a2 2a·b b2≤4（a·b）2.
又因为：a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），所以|a|=|b|=1，a·b=cosαcosβ sinαsinβ=cos（α-β）.
所以2cos2（α-β）-cos（α-β）-1≥0，
解得：cos（α-β）≤-12或cos（α-β）≥1.
又cos（α-β）∈[-1，1]，所以cos（α-β）∈-1，-12∪{1}.
正解 由|a b|≤2a·b可得：a2 2a·b b2≤4（a·b）2
a·b≥0 ，所以cos（α-β）=1.
“平方会产生增根”在初中时就有训练，当时很多学生只知道要检验，而没有思考为什么要检验.这在学生的思维中形成一个“痛点”，凡是涉及这个“痛点”，很多学生不能正确地完成.这就要求教师在教学设计中，对常见的痛点如“平方会产生增根”“二次项系数是否为零”“等式两边约去公因式丢根”“换元、消元时范围同步变化”“斜率存在性的讨论”，不仅要设计“陷阱”，让学生们多上几次“当”，更要让学生反思问题所在，积极地“治疗痛点”，形成防御，完善思维.
3.示范引领，培养题后反思的习惯
学生很少反思，关键不是教师不引导，而是学生也知道要反思自己的学习，但也往往停留在思想里，没有养成反思的习惯，就没有反思的行动.因此，教师首先要以身作则，在课堂教学中做好示范;其次，教师更要督促学生反思习惯的养成.
课堂上教师的讲解一定要有示范引领作用，教师要重视题后反思，严格规范执行题后反思，学生才会重视题后反思，才会执行题后反思，才会学会题后反思.一般对题后反思要做好以下几点：
对解题方法、思想的反思！波利亚说：“当你找到第一个蘑菇后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的.”在解题教学中，解题后的反思不单是简单的回顾或检验，而应引导学生仔细分析问题的结构特点，寻找各科知识的交叉点，总结、理清、概括思路，做到举一反三、触类旁通，以培养学生的发散思维和知识迁移能力.
对解题正确性的反思！每个人都会犯错误，犯错误不要紧，要紧的是犯了之后怎么办.为了避免错误，找到错误，我们要检验.而检验正是对解题正确性的一种反思.怎样快速地检验解题是否正确呢？举特例验证，是一个非常好用的方法.
对题目本身的反思！引导学生对命题进行条件弱化和结论加强、推广、引申等的反思.培养学生的发散思维，串联相关知识.
4.展示思维过程，培养对自身学习过程的反思
在学习数学的过程中，学生往往都是模仿教师或教材上的方法，对于为什么要选择该方法缺乏思考，对于自己在学习过程中思维的合理性也缺乏思考与反思，这说明很多学生的数学学习还只是停留在具体知识、技能的掌握上，“没有认识到数学学习过程也是一个观点、信念、态度等的形成过程，没有认识到数学是人类的创造性活动，具体的数学活动是一个包含了猜测、检验、错误、放弃、调节、形成假设、演绎推理、一般化等的复杂过程”，而在这个过程中，自我反思与调节起着极其重要的作用，只有在教學中不断地引导学生反思自己的学习过程，才能让学生建立起有效数学观和数学学习观.
在教学中，教师可以适当地设计一些展示教师的试错—调整的思维过程的问题，让学生理解不是每个问题解决过程都是一帆风顺的，这个过程往往是曲折的，只有不断地尝试不断地反思调整自己的思路才能取得成功.
三、对引导学生有效反思的反思
反思不仅仅是数学的事情，也不仅仅在数学课堂上，俗话说“举一反三”，它应该是关系到所有学科，并且应该时时刻刻地进行.学会了反思，在很大的程度上讲就是学会了学习.只有对已有的知识和方法有了深刻的反思，才能推陈出新，课程标准要培养学生的创新能力的目标就实现了，为了学生的终身学习的理念也前进了一大步.
如何设计才能引导学生有效反思，是我们在教学中要积极探索和反思的，以上的一些做法的有效性如何，还需要教学实践的进一步检验.要设计出更贴合学生的设计，还需不断实践研究.
【参考文献】
[1]波利亚，阎育苏，译.怎样解题.北京：科学出版社，1982.
[2]章建跃.中学生数学学科自我监控能力. 上海：华东师范大学出版社，2003：68-69.