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设直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A、B两点（直线AB的倾斜角为a），设A（x1，y1），B（x2，y2），0为坐标原点，准线方程为：x=，则关于抛物线C的焦点弦有以下九条常用的性质：
（8）以AB为直径的圆与准线相切：
（9）以AF、BF为直径的圆都与y轴相切。
以下运用上面焦点弦的性质来破解一些比较经典的焦点弦问题。
例1（2018年高考全国II卷理科第19题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与抛物线C交于A、B两点，且|AB|=8。
（1）求直线l的方程：
（2）求过点A、B且与抛物线C的准线相切的圆的方程。
解析：（1）解法1：由题意得点F的坐标为（1，0），直线l的方程为y=k（x-1）（k>0）。
设AB的中点的坐标为（x0，y0），由中点坐标公式可得，。
所以y0=x0-1=2，直线AB的垂直平分线的方程为y=-x+5。
评注：第一问中的解法1将直线方程与抛物线方程联立消元后，再运用了抛物线的焦点弦公式，最后解出k的值，得出直线的方程。解法2运用了弦长公式
这个公式只适用于抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦问题。第二问要求圆的方程，首先要确定圆心坐标与半径，线段AB为所求圆的弦，根据弦AB的垂直平分线经过圆心，再根据垂径定理，直线与圆相交时，|AB|=，其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，解方程可得出圆心坐标和半径长。
例2设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为____。
解析：由题设可得，p=2，所以。
因此，△AOB的面积为4。
评注：本题属于小题，可直接运用抛物线的焦点弦的性质，得出所求三角形的面积，思路简单明了。
例3设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于A、B两点，若|AF|=（3+2/2）|BF|，则直线l的方程为____。
解析：设直线AB的倾斜角为θ，由题意知p=2，F（1，0）
评注：本题运用了抛物线焦点弦的两条性质，通过解方程最终得出直线的斜率，以及直线的方程。
例4（2018年全国II卷理科第16题）已知点M（-1，1）和拋物线C：y2=4x，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点。若∠AMB=90°，则k=____。
解析：记抛物线的焦点为F，由题设可得F（1，0），kFM=
因为∠AMB=90°，则以AB为直径的圆与准线相切于点M。
由抛物线的性质可知MF⊥AB，所以
评注：本题属于小题，可直接运用抛物线性质的二级结论：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，解法简单明了，减少了运算量。
例5设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点E在抛物线C上，|EF|=4，若以EF为直径的圆过点（O，/3），则抛物线C的方程为____。
解析：由抛物线的性质可得，以EF为直径的圆与y轴相切，且切点坐标为（0，/3）。因为F（，0），可设E（x0，y0），|EF|=，所以x0=。
所以抛物线C的方程为
评注：本题的解答中先运用了抛物线的焦点弦性质，再通过解一元二次方程，最终得出抛物线的方程，减少了运算量。
例6已知F为抛物線的焦点，过F作两条互相垂直的直线lr，l2，直线ly与抛物线C交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，则以线段AB和线段DE为两条对角线的四边形的面积的最小值为____。
解析：设直线ly的倾斜角为a，则
所以，以线段AB和线段DE为两条对角线的四边形的面积为：
求四边形的面积取得最小值32。
评注：本题设出直线的倾斜角，先运用了抛物线的焦点弦公式，再利用三角函数的知识解出所求四边形的最小面积。
例7已知F为抛物线的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且|ME|=，则|AB|=____。
解析：由题设可知E（-1，0），F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）。
则中点M的坐标为
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）。
由焦点弦公式知|AB|=x1+x2+p=2+2+2=6。
评注：先设出两个交点的坐标，运用中点坐标公式，再将直线方程和抛物线方程联立，利用设而不求的思想，得出两根之和，建立关于k的方程，解出k”，运用抛物线的焦点弦公式和整体代换的思想，最终得出抛物线的焦点弦长。
（8）以AB为直径的圆与准线相切：
（9）以AF、BF为直径的圆都与y轴相切。
以下运用上面焦点弦的性质来破解一些比较经典的焦点弦问题。
例1（2018年高考全国II卷理科第19题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与抛物线C交于A、B两点，且|AB|=8。
（1）求直线l的方程：
（2）求过点A、B且与抛物线C的准线相切的圆的方程。
解析：（1）解法1：由题意得点F的坐标为（1，0），直线l的方程为y=k（x-1）（k>0）。
设AB的中点的坐标为（x0，y0），由中点坐标公式可得，。
所以y0=x0-1=2，直线AB的垂直平分线的方程为y=-x+5。
评注：第一问中的解法1将直线方程与抛物线方程联立消元后，再运用了抛物线的焦点弦公式，最后解出k的值，得出直线的方程。解法2运用了弦长公式
这个公式只适用于抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦问题。第二问要求圆的方程，首先要确定圆心坐标与半径，线段AB为所求圆的弦，根据弦AB的垂直平分线经过圆心，再根据垂径定理，直线与圆相交时，|AB|=，其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，解方程可得出圆心坐标和半径长。
例2设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为____。
解析：由题设可得，p=2，所以。
因此，△AOB的面积为4。
评注：本题属于小题，可直接运用抛物线的焦点弦的性质，得出所求三角形的面积，思路简单明了。
例3设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于A、B两点，若|AF|=（3+2/2）|BF|，则直线l的方程为____。
解析：设直线AB的倾斜角为θ，由题意知p=2，F（1，0）
评注：本题运用了抛物线焦点弦的两条性质，通过解方程最终得出直线的斜率，以及直线的方程。
例4（2018年全国II卷理科第16题）已知点M（-1，1）和拋物线C：y2=4x，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点。若∠AMB=90°，则k=____。
解析：记抛物线的焦点为F，由题设可得F（1，0），kFM=
因为∠AMB=90°，则以AB为直径的圆与准线相切于点M。
由抛物线的性质可知MF⊥AB，所以
评注：本题属于小题，可直接运用抛物线性质的二级结论：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，解法简单明了，减少了运算量。
例5设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点E在抛物线C上，|EF|=4，若以EF为直径的圆过点（O，/3），则抛物线C的方程为____。
解析：由抛物线的性质可得，以EF为直径的圆与y轴相切，且切点坐标为（0，/3）。因为F（，0），可设E（x0，y0），|EF|=，所以x0=。
所以抛物线C的方程为
评注：本题的解答中先运用了抛物线的焦点弦性质，再通过解一元二次方程，最终得出抛物线的方程，减少了运算量。
例6已知F为抛物線的焦点，过F作两条互相垂直的直线lr，l2，直线ly与抛物线C交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，则以线段AB和线段DE为两条对角线的四边形的面积的最小值为____。
解析：设直线ly的倾斜角为a，则
所以，以线段AB和线段DE为两条对角线的四边形的面积为：
求四边形的面积取得最小值32。
评注：本题设出直线的倾斜角，先运用了抛物线的焦点弦公式，再利用三角函数的知识解出所求四边形的最小面积。
例7已知F为抛物线的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且|ME|=，则|AB|=____。
解析：由题设可知E（-1，0），F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）。
则中点M的坐标为
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）。
由焦点弦公式知|AB|=x1+x2+p=2+2+2=6。
评注：先设出两个交点的坐标，运用中点坐标公式，再将直线方程和抛物线方程联立，利用设而不求的思想，得出两根之和，建立关于k的方程，解出k”，运用抛物线的焦点弦公式和整体代换的思想，最终得出抛物线的焦点弦长。