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在江苏省高考考试说明中，已经将一元二次不等式内容列为C级要求，而在高中数学中，一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程被统称为二次问题.本文就以近年的高考试题为例，谈谈解决二次问题的一般方法.
1.基本方法——直接求解，化归为求解方程法
例1 （2006年高考全国卷（Ⅱ）文科第21题）设a∈R，函数f(x)=ax2－2x－2a，若f(x)>0的解集为A，B={x|1 解：由f（x）为二次函数知a≠0,令f（x）＝0解得其两根为x1=1a－2+1a2,x2=1a+2+1a2,由此可知x1<0,x2>0.
（1）当a>0时，A={x|xx2}A∩B≠的充要条件是x2<3，
即1a+2+1a2<3解得a>67.
（2）当a<0时，A={x|x11，
即1a+2+1a2>1解得a<－2.
综上，使A∩B≠成立的a的取值范围为(－∞,－2)∪(67,+∞).
点评：这条题目的要求与常见到的恒成立的问题并不相同，它是一个不等式能成立的问题.即只要集合A、B的交集不是空集就可以了.
2.常用方法——变量分离，化归为函数最值法
例2 (2005年高考山东卷理科第19题)已知x=1是函数f(x)=mx3－3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R,m<0，当x∈－1,1时，函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
解：由已知f′(1)=0,得n=3m+6,f′(x)>3m，即mx2－2(m+1)x+2>0恒成立.
又m<0所以x2－2m(m+1)x+2m<0,x∈－1,1①
设g(x)=x2－2(1+1m)x+2m，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以g(－1)<0g(1)<01+2+2m+2m<0－1<0解之得－43 即m的取值范围为－43,0.
点评：求二次函数在某区间上的最值问题，要看开口方向，对称轴在该区间的相对位置，即对称轴在区间的左侧、右侧、区间内，故而引起分类讨论.二次函数在闭区间上必存在最大值和最小值，它们分别在端点或顶点处取得，这类问题可以融分类讨论、参数思想、数形结合思想等重要的数学思想方法于一题之中，有利于考查综合运用知识的化归能力，它是高考命题的一个热点.
例3 (2002年高考江苏卷第22题)已知a＞0，函数f（x）＝ax－bx2．
（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2b；
（2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；
证明：因为f(0)=0，所以以下可假设x≠0.
（1）由f（x）≤1恒成立，即bx2－ax+1≥0对任意x∈R恒成立.
∴Δ=a2-4b≤0.
又∵a＞0,b＞0,
所以a≤2b.
（2）|f(x)|≤1－1≤f(x)≤1－1≤ax－bx2≤1，对任意x∈［0，1］恒成立.
－1≤ax－bx2≤1－1x≤a－bx≤1x－1x+bx≤a≤1x+bx,
则(－1x+bx)max≤a≤(1x+bx)min在x∈(0,1］上恒成立.
当b＞1时，由于函数y=bx－1x在区间x∈(0,1］上单调递增，
所以(－1x+bx)max=b－1，则b－1≤a成立.
∵1x+bx≥2b，当且仅当x=1b时不等式取等号,
因为b>1,所以0<1b<1，即函数y=1x+bx在区间x∈(0,1］上的最小值是2b.
则a≤2b成立.
综上：得其充要条件为b－1≤a≤2b.
点评：有些涉及几个元素范围讨论的综合题，由于几个变量都在变化，从而相互影响，相互制约.若盲目试验，常导致结果越来越多，思路越来越乱，使问题难以讨论清楚.若把多元相关的式子进行变量的分离，等价化归为简单的，特征明显的问题来解决，将会柳暗花明.
3.简捷方法——数形结合，化归为根的分布法
例4 (2006年高考浙江卷理科第16题)设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0，求证：方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
证明：因为f(0)>0,f(1)>0，所以c>0,3a+2b+c>0.
由条件a+b+c=0，消去b，得a>c>0；
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b<0，2a+b>0.故－2 而抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为(－b3a,3ac－b23a)，
在－2
又因为f(0)>0,f(1)>0,而f(－b3a)=－a2+c2－ac3a<0,
所以方程f(x)=0在区间(0,－b3a)与(－b3a,1)内分别有一实根.
故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
点评：二次方程的实根分布问题实质上是二次函数的零点分布问题.实根分布的判别方法主要有：①判别式Δ的符号；②对称轴的相对位置；③特定点的函数值符号等.常常是利用与已知的二次方程相应的二次函数的图象确定实根的分布.
4.有效方法——抓住特征，化归为巧妙赋值法
例5 （2006高考重庆卷文科第21题）已知定义域为R的函数f(x)满足ff(x)－x2+x=f(x)－x2+x.设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式.
解：因为对任意x∈R，有ff(x)－x2+x=f(x)－x2+x.
又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)=x0，
所以对任意x∈R，有f(x)－x2+x=x0.
在上式中令x=x0，所以x0－x20=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)－x2+x=0，即f(x)=x2－x，
但方程x2－x=x有两不等实根，与题目设条件矛盾.
所以x0=1，则f(x)－x2+x=1，即f(x)=x2－x+1.
经验证此函数符合题设条件.
综上，所求函数为f(x)=x2－x+1.
点评：令x=x0是本题的关键，使得本题的思路豁然开朗.可以看到，通过巧妙赋值，使问题数值化，简单化，特殊化，从而能起到事半功倍的功效.
例6 （1996年高考理科第25题）已知a、b、c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时，│f(x)│≤1．证明：当－1≤x≤1时，│g(x)│≤2；
证明：当－1≤x≤1时，f(0),f(1),f(－1)有意义，则|f(1)|≤1,|f(－1)|≤1,|f(0)|≤1
由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c
可得a=f(1)+f(－1)2－f(0),b=f(1)－f(－1)2,c=f(0)，则
|g(x)|=|ax+b|=|［f(1)+f(－1)2－f(0)］x+f(1)－f(－1)2|
=|x+12f(1)+x－12f(－1)－xf(0)|
≤|x+12‖f(1)|+|x－12‖f(－1)|+|x‖f(0)|
≤|x+12|+|x－12|+|x|=x+12－x－12+|x|
≤1+1=2
点评：将二次函数的系数a,b,c用闭区间上的三个函数值（一般用区间端点、中点函数值）来表示，进而构造出有关系数的绝对值不等式。这样就为题设中有“对某区间上一切变量都有某条件成立”的不等式综合题提供了简单有效且易操作的方法。
5.特殊方法——转换角色，化归为一次函数法
例6 (2006年高考四川卷文科第21题)已知函数f(x)=x3+3ax－1,g(x)=f′(x)－ax－5,其中f′(x)是的f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0,求实数ｘ的取值范围.
解：由题意gx=3x2－ax+3a－5令φ(a)=3－xa+3x2－5，－1≤a≤1.
对－1≤a≤1，恒有gx<0，即φa<0.
∴φ1<0,φ－1<0,即3x2－x－2<0,3x2+x－8<0.解得－23<x<1.
故x∈－23,1时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有gx<0.
点评：利用主元与参数的关系，视参数为主元，往往能出奇制胜.即利用主元思想转化为一次函数问题.
总之，二次问题是一个综合性问题，一般是以二次函数为中心，借助于二次函数图像及其性质把方程与不等式联系起来，构成知识系统的网络结构，而且这三个“二次”也是研究包含二次曲线在内的许多内容的基础工具.所以一定要在数学思想方法的指导下，认真进行解题策略的总结归纳.
1.基本方法——直接求解，化归为求解方程法
例1 （2006年高考全国卷（Ⅱ）文科第21题）设a∈R，函数f(x)=ax2－2x－2a，若f(x)>0的解集为A，B={x|1
（1）当a>0时，A={x|x
即1a+2+1a2<3解得a>67.
（2）当a<0时，A={x|x1
即1a+2+1a2>1解得a<－2.
综上，使A∩B≠成立的a的取值范围为(－∞,－2)∪(67,+∞).
点评：这条题目的要求与常见到的恒成立的问题并不相同，它是一个不等式能成立的问题.即只要集合A、B的交集不是空集就可以了.
2.常用方法——变量分离，化归为函数最值法
例2 (2005年高考山东卷理科第19题)已知x=1是函数f(x)=mx3－3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R,m<0，当x∈－1,1时，函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
解：由已知f′(1)=0,得n=3m+6,f′(x)>3m，即mx2－2(m+1)x+2>0恒成立.
又m<0所以x2－2m(m+1)x+2m<0,x∈－1,1①
设g(x)=x2－2(1+1m)x+2m，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以g(－1)<0g(1)<01+2+2m+2m<0－1<0解之得－43
点评：求二次函数在某区间上的最值问题，要看开口方向，对称轴在该区间的相对位置，即对称轴在区间的左侧、右侧、区间内，故而引起分类讨论.二次函数在闭区间上必存在最大值和最小值，它们分别在端点或顶点处取得，这类问题可以融分类讨论、参数思想、数形结合思想等重要的数学思想方法于一题之中，有利于考查综合运用知识的化归能力，它是高考命题的一个热点.
例3 (2002年高考江苏卷第22题)已知a＞0，函数f（x）＝ax－bx2．
（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2b；
（2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；
证明：因为f(0)=0，所以以下可假设x≠0.
（1）由f（x）≤1恒成立，即bx2－ax+1≥0对任意x∈R恒成立.
∴Δ=a2-4b≤0.
又∵a＞0,b＞0,
所以a≤2b.
（2）|f(x)|≤1－1≤f(x)≤1－1≤ax－bx2≤1，对任意x∈［0，1］恒成立.
－1≤ax－bx2≤1－1x≤a－bx≤1x－1x+bx≤a≤1x+bx,
则(－1x+bx)max≤a≤(1x+bx)min在x∈(0,1］上恒成立.
当b＞1时，由于函数y=bx－1x在区间x∈(0,1］上单调递增，
所以(－1x+bx)max=b－1，则b－1≤a成立.
∵1x+bx≥2b，当且仅当x=1b时不等式取等号,
因为b>1,所以0<1b<1，即函数y=1x+bx在区间x∈(0,1］上的最小值是2b.
则a≤2b成立.
综上：得其充要条件为b－1≤a≤2b.
点评：有些涉及几个元素范围讨论的综合题，由于几个变量都在变化，从而相互影响，相互制约.若盲目试验，常导致结果越来越多，思路越来越乱，使问题难以讨论清楚.若把多元相关的式子进行变量的分离，等价化归为简单的，特征明显的问题来解决，将会柳暗花明.
3.简捷方法——数形结合，化归为根的分布法
例4 (2006年高考浙江卷理科第16题)设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0，求证：方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
证明：因为f(0)>0,f(1)>0，所以c>0,3a+2b+c>0.
由条件a+b+c=0，消去b，得a>c>0；
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b<0，2a+b>0.故－2
在－2
又因为f(0)>0,f(1)>0,而f(－b3a)=－a2+c2－ac3a<0,
所以方程f(x)=0在区间(0,－b3a)与(－b3a,1)内分别有一实根.
故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
点评：二次方程的实根分布问题实质上是二次函数的零点分布问题.实根分布的判别方法主要有：①判别式Δ的符号；②对称轴的相对位置；③特定点的函数值符号等.常常是利用与已知的二次方程相应的二次函数的图象确定实根的分布.
4.有效方法——抓住特征，化归为巧妙赋值法
例5 （2006高考重庆卷文科第21题）已知定义域为R的函数f(x)满足ff(x)－x2+x=f(x)－x2+x.设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式.
解：因为对任意x∈R，有ff(x)－x2+x=f(x)－x2+x.
又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)=x0，
所以对任意x∈R，有f(x)－x2+x=x0.
在上式中令x=x0，所以x0－x20=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)－x2+x=0，即f(x)=x2－x，
但方程x2－x=x有两不等实根，与题目设条件矛盾.
所以x0=1，则f(x)－x2+x=1，即f(x)=x2－x+1.
经验证此函数符合题设条件.
综上，所求函数为f(x)=x2－x+1.
点评：令x=x0是本题的关键，使得本题的思路豁然开朗.可以看到，通过巧妙赋值，使问题数值化，简单化，特殊化，从而能起到事半功倍的功效.
例6 （1996年高考理科第25题）已知a、b、c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时，│f(x)│≤1．证明：当－1≤x≤1时，│g(x)│≤2；
证明：当－1≤x≤1时，f(0),f(1),f(－1)有意义，则|f(1)|≤1,|f(－1)|≤1,|f(0)|≤1
由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c
可得a=f(1)+f(－1)2－f(0),b=f(1)－f(－1)2,c=f(0)，则
|g(x)|=|ax+b|=|［f(1)+f(－1)2－f(0)］x+f(1)－f(－1)2|
=|x+12f(1)+x－12f(－1)－xf(0)|
≤|x+12‖f(1)|+|x－12‖f(－1)|+|x‖f(0)|
≤|x+12|+|x－12|+|x|=x+12－x－12+|x|
≤1+1=2
点评：将二次函数的系数a,b,c用闭区间上的三个函数值（一般用区间端点、中点函数值）来表示，进而构造出有关系数的绝对值不等式。这样就为题设中有“对某区间上一切变量都有某条件成立”的不等式综合题提供了简单有效且易操作的方法。
5.特殊方法——转换角色，化归为一次函数法
例6 (2006年高考四川卷文科第21题)已知函数f(x)=x3+3ax－1,g(x)=f′(x)－ax－5,其中f′(x)是的f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0,求实数ｘ的取值范围.
解：由题意gx=3x2－ax+3a－5令φ(a)=3－xa+3x2－5，－1≤a≤1.
对－1≤a≤1，恒有gx<0，即φa<0.
∴φ1<0,φ－1<0,即3x2－x－2<0,3x2+x－8<0.解得－23<x<1.
故x∈－23,1时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有gx<0.
点评：利用主元与参数的关系，视参数为主元，往往能出奇制胜.即利用主元思想转化为一次函数问题.
总之，二次问题是一个综合性问题，一般是以二次函数为中心，借助于二次函数图像及其性质把方程与不等式联系起来，构成知识系统的网络结构，而且这三个“二次”也是研究包含二次曲线在内的许多内容的基础工具.所以一定要在数学思想方法的指导下，认真进行解题策略的总结归纳.