摘 要:解决了数学问题并非大功告成,更重要的是解题后的反思。笔者认为做完作业要从四个层次进行反思,反思解题方法,反思解题依据,反思解题思路,反思一题多变,以发展学生思维能力。
　　关键词:反思 解题方法 一题多变 思维能力
　　
　　 荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说:“反思是重要的数学活动,它是数学活动的核心和动力。”作业是课堂教学的延伸,在作业中反思是学生对学习内容的巩固和思维能力发展的重要手段,也是教师反思和改进教学的重要途径。
　　学习过程中总要做练习,但做完题目并非大功告成,数学问题的解决仅仅只是完成了一半,更重要的是解题后的回顾与反思,表现为将知识引申、拓展、深化。因此,反思是解题之后的重要环节,一般来说,作业做完后要从四个层次反思。
　　反思一:怎样做出来的?即在解题中反思方法,正确解题,这是最为重要的。有些学生只是为完成老师布置的作业而去做题,解题过程中笼统地套用已有的结论,不去对题目进行认真审题,导致相配套的作业质量不高。在一次作业中出现错误,有些学生往往不屑一顾,不了了之。但是,我们常常发现,类似的错误往往一犯再犯,一错再错,究其根源,是课后没有对所学内容进行反思,没有对课堂上老师已授的例题所采用的方法进行理解和消化。
　　[案例1]在直线与圆的位置关系一节中有这样的一题:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以C点为圆心,r为半径画圆,讨论r为何值时,所画⊙C与线段BA的公共点的个数。
　　学生错误主要有两种,一种是认知上的错误,即对“直线”与“线段”的含义没有加以区别,单纯套用了直线和圆的三种位置关系,第二种是策略上的错误,考虑不全面,漏落了一些情形。正由于没有深度思维,所以在另一次作业中又出现了类似的错误。
　　鉴于此,教师在作业批改中应反思:为什么有些学生屡做屡错,根源在哪里,要进行归类统计,找出问题所在,思考补救措施,在作业评讲中要注意引导学生分析问题,确定解题思路,复习旧知,为学生提供一个对基本知识及其注意点重新认识或更深刻地理解知识的机会,概括解题方法,提炼思想方法。学生更应反思:错解的原因,在解题中是否正确审题,注意哪些事项,如何克服常犯错误,从而“吃一堑,长一智”,不断完善,此外要建立起自己的错题档案,有错必纠,及时整理,随时记录。
　　反思二:为什么这样做?即反思解题依据的原理,题目中涉及到哪些知识点,知识点之间的关系。
　　反思三:为什么想到用这种方法?即反思解题思路,理清已知条件,做到思路清晰,推理有据,定理公式运用恰当,步骤详略得当。
　　反思四:有无其他方法?哪一种方法最好?比较各种方法的优劣,优化解题。
　　[案例2]在《圆周角》一节有一例:如图1,△ABC的三个顶点都在圆O上,AD是△ABC的高,AE是⊙O的直径,△ABE和△ACD相似吗?为什么?
　　此题用了圆周角的性质,又运用证三角形相似的方法,学生都能证明之。
　　教师在课上对此题进行了了变式训练。[变式1]如图2,条件中去掉AE是直径,求证AB·AC=AE·AD,出示了此题后,学生自然联想到例题中已添加辅助线直径AE,连AE证△ABE和△ACD相似,运用相似三角形对应边成比例,再将比例式改写成乘积式,直接得到结论。故就一般而言,例题处理结束,但教者又进行了[变式2]如图3,AD是△ABC的高,△ABC外接圆⊙O的半径是R,(1)求证:AB·AC=2R·AD(2)若AB+AC=10,AD=2,当AB等于多少时,⊙O的面积最大。
　　思考之一:在图2中2R=AE,故解决第一问题,学生最容易想到作直径AE,只要证明AB·AC=AE·AD就行,教者要求学生另辟途径,有无其他添加辅助线的方法,作直径BE、直径CE能否证明之。学生尝试作出直径BE、直径CE分别如图4和图5。