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“错解”形成的原因是学生对数学命题的正确性做出似是而非的判断。从思维角度看，是一种模糊的逻辑思维。其特点是学生在数学思想方法上不是客观地从数学命题的全面联系把握问题，而是由主观出发，以命题的某一方面为依据做出的论证。学习中，由于学生对数学基础知识掌握不牢，或数学方法运用不当，或逻辑思维混乱等，常产生错误的解法。错误的解法不及时处理会造成学生思维模糊，阻碍学生学习。
一、教学中注重“错误解法”的设计
数学教学是一个由师生双方共同活动的双边过程。从这个过程来看，“错解”设计可从以下两方面入手：
1.按学生的思维轨迹进行设计
教学中，认真收集、分析学生解题中的错误，或预测学生学习中可能出现的问题，模拟学生思维过程，便可设计出符合学生实际的错误解法。
如在解方程（尤其是三角方程）时，学生常常产生增根或失根，为此根据学生的解答可设计下面的题目，让学生进行辨析。
例1：解方程sinx+cosx＝－1。
解法一：两边平方整理得sin2x=0，所以2x=kπ，x=■kπ（k∈Z），故方程的解集为A=x|x=■kπ，k∈Z。
解法二：由“辅助角公式”有sinx+cosx＝■sin(x+■)=1，所以sin(x+■)，故有x+■=2kπ-■或x+■=2kπ+π+■，解得x=2kπ-■或x=2kπ+π(k∈Z)，故方程的解集为B=x|x=2kπ-■，或x=2kπ+π，k∈Z。
解法三：由万能公式可得■+■=1，解得tan■=-1，所以x=2kπ-■(k∈Z)，故方程的解集为C＝x|x=2kπ-■k∈Z。
集合A真包含集合B，B真包含C，而上述三种解法似乎都很严谨，但一个方程不可能出现不同的解集。
又如，在教到用基本不等式求最值时，根据以往学生出现的情况，知道学生容易忽视等号成立的条件、在和与积都不是定值的情况下求最值，为此我设计了这样一道题：
例2:求函数y=2x2+■，（x>0）的最小值，下列解法是否正确？为什么？
解法一：y=2x2+■+■≥3■=3■，所以y的最小值为3■。
解法二：y=2x2+■≥2■=2■，当且仅当2x2=■即x=■时取等号，所以y的最小值为2■=2■。
通过此题的辨析、解答让学生深刻理解用基本不等式求最值时要考虑“一正二定三相等”缺一不可。
再如，对概率公式P（A+B）=P（A）+P（B）成立的前提条件“A，B互斥”，学生往往容易忽略，可设计如下问题：
例3：在一段时间内，甲去某地的概率是■，乙去某地的概率为■，假定两人的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去该地的概率是多少？
解法一：设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，则事件A＋B表示“至少有一人去此地”．故所求事件的概率为P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝■＋■＝■。
解法二：所求事件的概率为P（A＋B）＝1－P（■·■）＝1－P（■）P（■）＝1－(1－■)(1－■)＝■。
2.按教学功能进行设计
解题教学中“错误解法”的设计训练，能使学生再现、理解、掌握与巩固所学基础知识，并形成相应的解题技能。为此，应针对性设计一些题进行训练，如为了准确理解双曲线与渐近线的位置关系，可设计如下问题：
例4：是否存在过原点的直线与双曲线■-■=1（a＞0，b＞0）相切？
解：当直线斜率不存在时，显然不相切；当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx联立双曲线方程消（下转第189页）（上接第143页）去y整理得(b2-a2k2)x2-a2b2=0，由△=4a2b2(b2-a2k2)=0?圯k=±■，得出渐近线与双曲线相切的错误结论。
二、“错误解法”设计的教学价值
从上述设计过程可以看出，解题教学中“错误解法”合理、适度地把握了学生对数学问题“知且不足”的认识特点，由于从不同角度展示了思维过程，且结论“奇”“异”，可激起学生探“奇”的兴趣，易于高度调动学生的学习积极性，有利于发展学生的智力。从数学知识结构看，解题教学中“错误解法”的设计还有如下明显的教学价值：
1.准确辨析数学概念，理解数学公式
数学概念、数学公式是知识体系中最基本，也是最重要的组成部分。概念有内涵和外延，概念的内涵就是概念所反映事物的本质属性的总和，概念的外延就是概念所涉及的范围。忽视概念的教学，就会造成学生不能正确地理解概念，不能准确把握概念，不能灵活运用概念。
2.深刻揭示数学规律
揭示数学规律是教学中一个非常重要的环节。有的教师在教学中只重视数学规律的应用，而对数学规律的发现、论证过程却一带而过。这种做法在青年教师中尤为普遍。课本中每一定理的证明，每一公式的推导，都包含了一定的数学思想方法，教学中，不仅不能淡化论证过程，而且还要在论证中向学生揭示具体的数学思想。
3.灵活选择思维方式
教师在教学过程中，通过一两个典型的例题，让学生暴露“错解”，师生共同分析出错原因，学生就能很快从错误中走出来，从而增强辨别错误的能力，也提高了分析问题和解决问题的能力。要想少出错，教学中就应该以积极主动的态度对待错误解法，备课时可适当从错误思路去构思。课堂上应加强对典型错解的分析，充分暴露错误的思维过程，使学生在纠错过程中掌握正确的思维方法。
并不是所有的问题都要设计“错解”，而是应在教学中依据具体情况，适时设计错题解法，可有效提高学生对概念的掌握、理解，形成正确的解题方法技巧，提高教学课堂效果。
一、教学中注重“错误解法”的设计
数学教学是一个由师生双方共同活动的双边过程。从这个过程来看，“错解”设计可从以下两方面入手：
1.按学生的思维轨迹进行设计
教学中，认真收集、分析学生解题中的错误，或预测学生学习中可能出现的问题，模拟学生思维过程，便可设计出符合学生实际的错误解法。
如在解方程（尤其是三角方程）时，学生常常产生增根或失根，为此根据学生的解答可设计下面的题目，让学生进行辨析。
例1：解方程sinx+cosx＝－1。
解法一：两边平方整理得sin2x=0，所以2x=kπ，x=■kπ（k∈Z），故方程的解集为A=x|x=■kπ，k∈Z。
解法二：由“辅助角公式”有sinx+cosx＝■sin(x+■)=1，所以sin(x+■)，故有x+■=2kπ-■或x+■=2kπ+π+■，解得x=2kπ-■或x=2kπ+π(k∈Z)，故方程的解集为B=x|x=2kπ-■，或x=2kπ+π，k∈Z。
解法三：由万能公式可得■+■=1，解得tan■=-1，所以x=2kπ-■(k∈Z)，故方程的解集为C＝x|x=2kπ-■k∈Z。
集合A真包含集合B，B真包含C，而上述三种解法似乎都很严谨，但一个方程不可能出现不同的解集。
又如，在教到用基本不等式求最值时，根据以往学生出现的情况，知道学生容易忽视等号成立的条件、在和与积都不是定值的情况下求最值，为此我设计了这样一道题：
例2:求函数y=2x2+■，（x>0）的最小值，下列解法是否正确？为什么？
解法一：y=2x2+■+■≥3■=3■，所以y的最小值为3■。
解法二：y=2x2+■≥2■=2■，当且仅当2x2=■即x=■时取等号，所以y的最小值为2■=2■。
通过此题的辨析、解答让学生深刻理解用基本不等式求最值时要考虑“一正二定三相等”缺一不可。
再如，对概率公式P（A+B）=P（A）+P（B）成立的前提条件“A，B互斥”，学生往往容易忽略，可设计如下问题：
例3：在一段时间内，甲去某地的概率是■，乙去某地的概率为■，假定两人的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去该地的概率是多少？
解法一：设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，则事件A＋B表示“至少有一人去此地”．故所求事件的概率为P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝■＋■＝■。
解法二：所求事件的概率为P（A＋B）＝1－P（■·■）＝1－P（■）P（■）＝1－(1－■)(1－■)＝■。
2.按教学功能进行设计
解题教学中“错误解法”的设计训练，能使学生再现、理解、掌握与巩固所学基础知识，并形成相应的解题技能。为此，应针对性设计一些题进行训练，如为了准确理解双曲线与渐近线的位置关系，可设计如下问题：
例4：是否存在过原点的直线与双曲线■-■=1（a＞0，b＞0）相切？
解：当直线斜率不存在时，显然不相切；当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx联立双曲线方程消（下转第189页）（上接第143页）去y整理得(b2-a2k2)x2-a2b2=0，由△=4a2b2(b2-a2k2)=0?圯k=±■，得出渐近线与双曲线相切的错误结论。
二、“错误解法”设计的教学价值
从上述设计过程可以看出，解题教学中“错误解法”合理、适度地把握了学生对数学问题“知且不足”的认识特点，由于从不同角度展示了思维过程，且结论“奇”“异”，可激起学生探“奇”的兴趣，易于高度调动学生的学习积极性，有利于发展学生的智力。从数学知识结构看，解题教学中“错误解法”的设计还有如下明显的教学价值：
1.准确辨析数学概念，理解数学公式
数学概念、数学公式是知识体系中最基本，也是最重要的组成部分。概念有内涵和外延，概念的内涵就是概念所反映事物的本质属性的总和，概念的外延就是概念所涉及的范围。忽视概念的教学，就会造成学生不能正确地理解概念，不能准确把握概念，不能灵活运用概念。
2.深刻揭示数学规律
揭示数学规律是教学中一个非常重要的环节。有的教师在教学中只重视数学规律的应用，而对数学规律的发现、论证过程却一带而过。这种做法在青年教师中尤为普遍。课本中每一定理的证明，每一公式的推导，都包含了一定的数学思想方法，教学中，不仅不能淡化论证过程，而且还要在论证中向学生揭示具体的数学思想。
3.灵活选择思维方式
教师在教学过程中，通过一两个典型的例题，让学生暴露“错解”，师生共同分析出错原因，学生就能很快从错误中走出来，从而增强辨别错误的能力，也提高了分析问题和解决问题的能力。要想少出错，教学中就应该以积极主动的态度对待错误解法，备课时可适当从错误思路去构思。课堂上应加强对典型错解的分析，充分暴露错误的思维过程，使学生在纠错过程中掌握正确的思维方法。
并不是所有的问题都要设计“错解”，而是应在教学中依据具体情况，适时设计错题解法，可有效提高学生对概念的掌握、理解，形成正确的解题方法技巧，提高教学课堂效果。