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一、教材分析
“怎样选择较优方案”是浙教版教材八年级上册第七章最后一节的学习内容，它放在一次函数的简单应用之后，是一次函数应用的提高拓展，更主要的它是一个课题学习. 这是数学课程中一个全新的内容，它不是新授课，也不同于一般的综合练习课，它最主要的特点是能体现“问题情景——自主探索——合作交流——归纳应用”的新课程理念，学生将在一个具有挑战性的研究课题中，发展应用数学解决实际问题的意识和能力，并通过获得的成功体验和克服困难的经历，增进学数学、用数学的信心. 因此这节课的学习应是充满猜测、尝试、验证、争论和研究，是学生亲自参与的丰富而生动的活动，所以教师应提供给学生充分实践、思考、交流的空间与时间.
这节课的重点是用图解法解决简单的实际问题，难点是图解法思路的形成过程.
这节课的教学目标，不仅是知识技能的获得，还要获得一些研究问题的方法和经验.
二、课前准备
１． 上节课后布置：要求学生找一个与自己生活相关的类似于上节课出租车车费、公司招聘人员工资等有关问题，本节课上课时提交.
２． 教师自己去商场、电信局、水厂等了解，选择了一个与“选择较优方案”课题接近又略有提高的“小灵通风尚无忧”优惠活动.
３． 在“小灵通风尚无忧”宣传单下面复印带有网格的直角坐标系，以便于学生作图.
４． 利用多媒体课件的特别设计增加直观感，给图解法思路作铺垫.
三、教学过程与设计意图
１. 导入
前些天，老师去电信局缴话费，当时一大堆人手里拿着一种“小灵通风尚无忧”活动的单子，其中有一个十四五岁的小男孩，原来小男孩与妈妈来缴话费，看到“小灵通风尚无忧”活动，母子商量着选了一种方案，把原来每月１００元左右的话费节省了２０元左右，于是老师也拿了一张，现印好分发给大家，我们来研究一下，这个“小灵通风尚无忧”优惠活动是怎样优惠的？这就是我们这节课要研究的“怎样选择较优方案”，从而引出课题.
设计意图 课题应联系学生的实际，具有一定的挑战性和实践性，“小灵通风尚无忧”来自电信局真实的促销活动. 作为本节课的研究课题，略高于课本的课题，既符合我校学生基础好的实际，又没有不必要的人为加工和刻意雕琢.
２. 展示课题
小灵通风尚无忧
长话市话一口价， “小灵通风尚无忧”重磅出击，再掀资费革命！
（１） 学生反复理解手上宣传单，然后四人小组讨论，明确“小灵通风尚无忧”优惠活动的实际意义：月保底是指每月缴纳的基本话费；可使用话费指的是每月可享用的最高费用，如第一方案是每月付６８元话费，可享用８８元的话费，超出８８元的部分拨打国内、本地的每分钟０．２０元，省内异地的每分０．３０元，依次理解3种方案.
（２） 学生容易知道在服务质量相同的情况下，人们通常根据话费的多少来选择方案，那么如上超出８８元／月部分的话费依什么进行计算？经过学生略微思考，即能知道话费与通话时间有关.
（３） 明确８８元／月的意义，即为通话时间达８８ ÷ ０．２０ ＝ ４４０分时不须另行收费，但超过每月４４０分钟的通话时间，则超出的时间按每分０．２０元收费.
设计意图 研究课题的目的要非常明确，这样学生才会围绕这一目标多角度地分析，寻求解决问题的策略，而学生毕竟是学生，容易知道话费肯定与通话时间有关，但没有实实在在的接触过这类生活问题，因此必须详尽理解“小灵通风尚无忧”的优惠活动意义.
３. 研究课题
对于“小灵通风尚无忧”活动有３个方案，先研究拨打国内、本地的，经同学们的分析列表如下：
（１） 我们知道话费与通话时间有关，具体的是怎样的关系呢？同学们先以方案１与方案２比较，研究哪种方案较优惠？
教师深入到各学习小组倾听学生的讨论，了解学生的思考过程并给予适当的指导，与学生一起思考，计算，筹划，就学生的知识水平，各小组可能会出现：①猜测法：以４４０分、７８６分、１３８０分为界进行选择. ②特殊值法：即通话时间为１００分、２００分、４４０分、５００分…时进行计算话费．③一般法：由于学生已有函数的概念，可能会列函数解析式，但不一定会完整．经过长时间的实验后，教师引导学生大胆阐述自己的观点与同学们的方法进行比较，分享不同观点带来的启发，用激励性的语言鼓励学生反思，完善问题的解决过程：话费是随着时间的变化而变化的，从而知道月话费是关于通话时间的函数．由学生回答函数关系式如下：若设每月通话时间为ｘ分，所缴话费为ｙ元，则有ｙ１ ＝ ６８ ＋ ０．２０（ｘ － ４４０），集学生的智慧完善两种方案关系如下：
（２） 在如上的话费与通话的时间的关系中，怎样比较哪个方案更优惠呢？学生发现：０ ≤ ｘ ≤ ４４０时，显然方案１优惠，那么① ｘ ＞ ４４０呢？又出现同学的猜测，尝试或用特殊值或用在ｘ ＞ ４４０时方案１中的６８ ＋ ０．２０（ｘ － ４４０） ＜ ８８，解得ｘ ＜ ５４０…，教师参与各小组讨论，建议，欣赏，肯定，质疑，引导学生能否更直观、形象地比较呢？启发学生：研究函数往往用图像进行研究！②各小组能否一试？让同学们在印发下的网格坐标系中画方案１中的图形. （其中教师指点０ ≤ ｘ ≤ ４４０时ｙ ＝ ６８的图像的画法），方案２的图像画到哪里呢？便于比较也画在同一坐标中（两方案图形用不同颜色画出，教师在上面示范）. ③对照图像，通话时间为多少时某个方案话费较少呢？学生操作，肯定个别小组的一些同学过ｘ轴上的某一时间作ｘ轴的垂线来分析话费的多少，教师在多媒体课件中拖动垂直于ｘ轴的直线，显示直线与图像的交点坐标．
教师逐组巡视，帮助学生把研究的结论写在印发下的讲义上，小组交流，总结，发言，从节省费用的角度考虑：
至此课题结论经过同学的努力研究完毕.
回忆研究课题的过程，师生共同总结：①在实际问题情景中找出两个变量之间的关系，列出函数关系式. ②画出相应的函数图像. ③ 从图像上比较较优方案. ④确定结论.
设计意图
这是一个充满操作、尝试、研究和争论的过程，应给学生足够长的时间发现问题，进行实践，寻找策略，与人和作. 应给学生足够宽松、民主的环境，激发学生自主探索的积极性，教师只是适时的提供建议和指导，让学生自己完成课题的研究.
４. 应用课题
回忆电信局里众人围绕小男孩的情景，提问：
（１） 小男孩的妈妈选择了哪个方案才节省了２０元钱？每月通话时间大约是多少？
［１００ － ２０ ＝ ８０ ＜ ８８，应选择方案１， ＝ ５００分，不超过５００分钟］
（２） 若这个月小男孩妈妈试着选择方案１，还是用了１００元钱，她估计以后每个月的通话情况也差不多如此，她是否有必要另选方案？
学生思维再度活跃，情绪高涨，学生与学生间良好的合作，教师与学生间平等的交流，课堂上情感交融，一派和谐的景象.
设计意图
课题的应用，让学生体会到了成功的喜悦，这是本节课的又一高潮，成功的体验和克服困难的经历，增进了学生运用数学的自信心！
四、课题作业
选择一个上节课搜集来的问题，用今天的“选择较优方案”的方法完成（可以借助别人的问题，也可以四人小组一起完成）.
五、设计说明
１． 设计背景
对于“课题学习”部分内容，以前老师们都不是很重视，只作一个综合练习处理. 现在看来，“课题学习”完全不同于以前其他课型，最明显的区别有：
（１） 课题学习中学生是学习的主体显得更为突出.
（２） 课题学习的目标，不仅是知识技能上的，还有是使学生获得一些研究问题的经验.
（３） 课题学习较其他课有更充分的实践、思考和交流的空间和时间.
（４） 课题学习中教师不再是知识的传递者，是课题研究的组织者和合作者的份量更重.
２． 教学反思
（１） 教师要舍得放手，让学生做学习的主人，不要怕完不成教学任务，不要怕这是浪费时间，不要怕控制不了课堂气氛，只要学生在思考、探讨本课内容，“乱”也很正常.
（２） 部分平时不受教师关注，不引人注目的学生，在“课题学习”的氛围中不自觉地融入其中，他在生活经历，生活经验方面可能强于一些平时成绩优异的学生，他们会冒出一些独特的、个性化的东西，这恰好是老师该抓住的闪光点，是他们学习的转折点，请关注这些学生吧，哪怕是很小的一点光亮.
（３） 大多学生经过操作、实验、交流、合作的知识就掌握得较好，它真正变成了学生自己的知识，不是教师塞给学生的，我们何乐而不为呢！
（４）新课程理念中有许多不同于传统的教法、学法，有好多老师把握不好的教材处理，若多进行诸如“课题学习”的探讨，我们教师将进步得更快！
【参考文献】
［１］ 李玉琪．中学数学教学与实践研究．北京：高等教育出版社
［２］ 孙晓天，张丹．新课程理念与初中数学课程改革.长春：东北师范大学出版社
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
“怎样选择较优方案”是浙教版教材八年级上册第七章最后一节的学习内容，它放在一次函数的简单应用之后，是一次函数应用的提高拓展，更主要的它是一个课题学习. 这是数学课程中一个全新的内容，它不是新授课，也不同于一般的综合练习课，它最主要的特点是能体现“问题情景——自主探索——合作交流——归纳应用”的新课程理念，学生将在一个具有挑战性的研究课题中，发展应用数学解决实际问题的意识和能力，并通过获得的成功体验和克服困难的经历，增进学数学、用数学的信心. 因此这节课的学习应是充满猜测、尝试、验证、争论和研究，是学生亲自参与的丰富而生动的活动，所以教师应提供给学生充分实践、思考、交流的空间与时间.
这节课的重点是用图解法解决简单的实际问题，难点是图解法思路的形成过程.
这节课的教学目标，不仅是知识技能的获得，还要获得一些研究问题的方法和经验.
二、课前准备
１． 上节课后布置：要求学生找一个与自己生活相关的类似于上节课出租车车费、公司招聘人员工资等有关问题，本节课上课时提交.
２． 教师自己去商场、电信局、水厂等了解，选择了一个与“选择较优方案”课题接近又略有提高的“小灵通风尚无忧”优惠活动.
３． 在“小灵通风尚无忧”宣传单下面复印带有网格的直角坐标系，以便于学生作图.
４． 利用多媒体课件的特别设计增加直观感，给图解法思路作铺垫.
三、教学过程与设计意图
１. 导入
前些天，老师去电信局缴话费，当时一大堆人手里拿着一种“小灵通风尚无忧”活动的单子，其中有一个十四五岁的小男孩，原来小男孩与妈妈来缴话费，看到“小灵通风尚无忧”活动，母子商量着选了一种方案，把原来每月１００元左右的话费节省了２０元左右，于是老师也拿了一张，现印好分发给大家，我们来研究一下，这个“小灵通风尚无忧”优惠活动是怎样优惠的？这就是我们这节课要研究的“怎样选择较优方案”，从而引出课题.
设计意图 课题应联系学生的实际，具有一定的挑战性和实践性，“小灵通风尚无忧”来自电信局真实的促销活动. 作为本节课的研究课题，略高于课本的课题，既符合我校学生基础好的实际，又没有不必要的人为加工和刻意雕琢.
２. 展示课题
小灵通风尚无忧
长话市话一口价， “小灵通风尚无忧”重磅出击，再掀资费革命！
（１） 学生反复理解手上宣传单，然后四人小组讨论，明确“小灵通风尚无忧”优惠活动的实际意义：月保底是指每月缴纳的基本话费；可使用话费指的是每月可享用的最高费用，如第一方案是每月付６８元话费，可享用８８元的话费，超出８８元的部分拨打国内、本地的每分钟０．２０元，省内异地的每分０．３０元，依次理解3种方案.
（２） 学生容易知道在服务质量相同的情况下，人们通常根据话费的多少来选择方案，那么如上超出８８元／月部分的话费依什么进行计算？经过学生略微思考，即能知道话费与通话时间有关.
（３） 明确８８元／月的意义，即为通话时间达８８ ÷ ０．２０ ＝ ４４０分时不须另行收费，但超过每月４４０分钟的通话时间，则超出的时间按每分０．２０元收费.
设计意图 研究课题的目的要非常明确，这样学生才会围绕这一目标多角度地分析，寻求解决问题的策略，而学生毕竟是学生，容易知道话费肯定与通话时间有关，但没有实实在在的接触过这类生活问题，因此必须详尽理解“小灵通风尚无忧”的优惠活动意义.
３. 研究课题
对于“小灵通风尚无忧”活动有３个方案，先研究拨打国内、本地的，经同学们的分析列表如下：
（１） 我们知道话费与通话时间有关，具体的是怎样的关系呢？同学们先以方案１与方案２比较，研究哪种方案较优惠？
教师深入到各学习小组倾听学生的讨论，了解学生的思考过程并给予适当的指导，与学生一起思考，计算，筹划，就学生的知识水平，各小组可能会出现：①猜测法：以４４０分、７８６分、１３８０分为界进行选择. ②特殊值法：即通话时间为１００分、２００分、４４０分、５００分…时进行计算话费．③一般法：由于学生已有函数的概念，可能会列函数解析式，但不一定会完整．经过长时间的实验后，教师引导学生大胆阐述自己的观点与同学们的方法进行比较，分享不同观点带来的启发，用激励性的语言鼓励学生反思，完善问题的解决过程：话费是随着时间的变化而变化的，从而知道月话费是关于通话时间的函数．由学生回答函数关系式如下：若设每月通话时间为ｘ分，所缴话费为ｙ元，则有ｙ１ ＝ ６８ ＋ ０．２０（ｘ － ４４０），集学生的智慧完善两种方案关系如下：
（２） 在如上的话费与通话的时间的关系中，怎样比较哪个方案更优惠呢？学生发现：０ ≤ ｘ ≤ ４４０时，显然方案１优惠，那么① ｘ ＞ ４４０呢？又出现同学的猜测，尝试或用特殊值或用在ｘ ＞ ４４０时方案１中的６８ ＋ ０．２０（ｘ － ４４０） ＜ ８８，解得ｘ ＜ ５４０…，教师参与各小组讨论，建议，欣赏，肯定，质疑，引导学生能否更直观、形象地比较呢？启发学生：研究函数往往用图像进行研究！②各小组能否一试？让同学们在印发下的网格坐标系中画方案１中的图形. （其中教师指点０ ≤ ｘ ≤ ４４０时ｙ ＝ ６８的图像的画法），方案２的图像画到哪里呢？便于比较也画在同一坐标中（两方案图形用不同颜色画出，教师在上面示范）. ③对照图像，通话时间为多少时某个方案话费较少呢？学生操作，肯定个别小组的一些同学过ｘ轴上的某一时间作ｘ轴的垂线来分析话费的多少，教师在多媒体课件中拖动垂直于ｘ轴的直线，显示直线与图像的交点坐标．
教师逐组巡视，帮助学生把研究的结论写在印发下的讲义上，小组交流，总结，发言，从节省费用的角度考虑：
至此课题结论经过同学的努力研究完毕.
回忆研究课题的过程，师生共同总结：①在实际问题情景中找出两个变量之间的关系，列出函数关系式. ②画出相应的函数图像. ③ 从图像上比较较优方案. ④确定结论.
设计意图
这是一个充满操作、尝试、研究和争论的过程，应给学生足够长的时间发现问题，进行实践，寻找策略，与人和作. 应给学生足够宽松、民主的环境，激发学生自主探索的积极性，教师只是适时的提供建议和指导，让学生自己完成课题的研究.
４. 应用课题
回忆电信局里众人围绕小男孩的情景，提问：
（１） 小男孩的妈妈选择了哪个方案才节省了２０元钱？每月通话时间大约是多少？
［１００ － ２０ ＝ ８０ ＜ ８８，应选择方案１， ＝ ５００分，不超过５００分钟］
（２） 若这个月小男孩妈妈试着选择方案１，还是用了１００元钱，她估计以后每个月的通话情况也差不多如此，她是否有必要另选方案？
学生思维再度活跃，情绪高涨，学生与学生间良好的合作，教师与学生间平等的交流，课堂上情感交融，一派和谐的景象.
设计意图
课题的应用，让学生体会到了成功的喜悦，这是本节课的又一高潮，成功的体验和克服困难的经历，增进了学生运用数学的自信心！
四、课题作业
选择一个上节课搜集来的问题，用今天的“选择较优方案”的方法完成（可以借助别人的问题，也可以四人小组一起完成）.
五、设计说明
１． 设计背景
对于“课题学习”部分内容，以前老师们都不是很重视，只作一个综合练习处理. 现在看来，“课题学习”完全不同于以前其他课型，最明显的区别有：
（１） 课题学习中学生是学习的主体显得更为突出.
（２） 课题学习的目标，不仅是知识技能上的，还有是使学生获得一些研究问题的经验.
（３） 课题学习较其他课有更充分的实践、思考和交流的空间和时间.
（４） 课题学习中教师不再是知识的传递者，是课题研究的组织者和合作者的份量更重.
２． 教学反思
（１） 教师要舍得放手，让学生做学习的主人，不要怕完不成教学任务，不要怕这是浪费时间，不要怕控制不了课堂气氛，只要学生在思考、探讨本课内容，“乱”也很正常.
（２） 部分平时不受教师关注，不引人注目的学生，在“课题学习”的氛围中不自觉地融入其中，他在生活经历，生活经验方面可能强于一些平时成绩优异的学生，他们会冒出一些独特的、个性化的东西，这恰好是老师该抓住的闪光点，是他们学习的转折点，请关注这些学生吧，哪怕是很小的一点光亮.
（３） 大多学生经过操作、实验、交流、合作的知识就掌握得较好，它真正变成了学生自己的知识，不是教师塞给学生的，我们何乐而不为呢！
（４）新课程理念中有许多不同于传统的教法、学法，有好多老师把握不好的教材处理，若多进行诸如“课题学习”的探讨，我们教师将进步得更快！
【参考文献】
［１］ 李玉琪．中学数学教学与实践研究．北京：高等教育出版社
［２］ 孙晓天，张丹．新课程理念与初中数学课程改革.长春：东北师范大学出版社
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”