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摘 要：教材例题编写体现编者对知识本质的认识，反应编者对学生理解数学概念路径的认识，通过不同版本教材例题的对比有利于一线教师准确理解编者意图；有利于一线教师正确把握数学知识的内涵意义；更有利于教师合理安排教学过程。本文借助10的基数意义两版教材例题对比，从基数意义是什么、怎样促进基数意义等角度分析，以试图探索基数意义教学的一些共性特点，希望帮助一线教师对数概念教学有更清晰的把握。
关键词：基数意义；教材对比；理解路径
对当前各个地区使用的不同版本教材对“10的基数意义认识”的有不同编写思路，对比解读不同版本教材对基数意义内容编写共同特点，不仅有利于一线教师科学合理把握教材，而且还能从中感受到学生理解数概念形成的一般过程，从而指导课堂教学。
一、 什么是基数意义？
弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中第164页指出：基数或势就是数量数的形式化，康托认为基数意义是所有与它等势的集合所共有的，等势就是两个集合元素之间能一一对应。通俗地理解，基数意义就是关于“有多少”，而这个问题，必须通过数已知集合中元素的个数才能回答。以上的观点告诉我们基数意义其实就是在集合中解决“有多少”的问题，它最终的成果是关注个数，不再关注对象，也就是我们平时理解的“表示几”。如10的基数意义就是表示10个元素的集合的类，它并不关注是10个人，或是10只小鸟，它只关注元素的个数是10就可以了。因此，学生对10的基数意义理解就是对含有10个元素的一类集合的抽象概括理解。
二、 怎样促进10的基数意义理解？
（一） 两版教材都围绕基数意义的本质特征（有多少）编排例题
康托认为基数意义是所有与它等势的集合所共有的，等势就是两个集合元素之间能一一对应。对照基数意义概念，两个版本教材例题是怎样体现概念本质的呢？
1. 在例题素材呈现形式上，两版教材都凸显在集合中数数。北师大版教材采用阴影和方框等方式，人教版采用不同类事物（鸽子和人数）以及带阴影的圆圈图，让学生清晰地感受到在集合里数个数，体现集合思想。
2. 在横向材料选择上，两版教材都借助多个集合情景数数，让学生多角度指向集合情境间元素个数间建立等势和一一对应，从而引导学生多层次、多角度抽象基数意义。这样的安排有利于积累学生基数感性经验，有利于感受基数指集合元素个数的等势特点。通俗地说，基数意义它不关注对象物理属性，只关注数量属性。它不关注对象是否具有铅笔属性或是圆圈属性，只要对象是具有10个单位数量元素的数字属性，我们都可以用数字符号10来表示。两版教材都通过多个情境，让学生感受各个可以用10表示的集合都表示10个元素，体会数与集合元素间、各集合元素个数间的一一对应关系，也就是集合等势的本质。北师大教材采用连一连的方式，为学生对等势感受打开新的认识路径——为什么不是10个，是9个？从而打开集合元素个数与10是否一一对应（即等势）的思考与辨析。
3. 从材料抽象程度上看，两版教材都从带单位的具体数量入手抽象到不带单位的书面符号10，逐层建构基数意义。无论是北师大版数铅笔、数圆圈等活动安排还是人教版数鸽子、数人数等活动预设都带有单位的数量数引入，两版教材都借助尺子、拨珠子、涂圆圈、举例子等手段促进数和单位的分离，促进数字符号的抽象。
从以上特点我们不难看出，编者认为基数意义教学本质是在多个带单位的数量集合情景中让学生数数，并通过类比，逐渐让学生将数和单位分离，实现更高层次的符号化的抽象，是一年级基数意义形成一条有效途径。
（二） 两版教材都围绕学生理解意义的路径（多元表征）编排例题
两版教材都采用数一数、涂一涂等多个数学活动促进学生理解10的意义，这些活动体现了编者对学生学习10的意义理解路径的预设。
lesh的表征转化说认为概念理解可以通过5种不同的表征方式来表征，即现实情境（实物）、图像、操作模型、口头语言和书面语言。理解就是用不同的表征方式表征数学概念，并實现表征方式相互转化、建立表征之间的联系，当学生能够将信息从一种表征转换为另一种表征方式时，理解就产生了。（见巩子坤教授《程序性知识教与学》第23页）笔者结合表征转化说五种表征方式相互转化的视角，
1. 两版教材都试图采用多个表征方式间的互相转化，试图建立各种表征方式的横向对应联系，积累基数意义的感性经验，促进学生多个角度归纳基数意义，从而促进学生的理解。需要特别指出的是两版教材都突出运用现实情境、图像和操作表征促进基数意义的理解。这可能是编者基于一年级学生年龄特点和对学生数概念形成的一般路径判断来安排学生活动的。
2. 在安排的先后顺序上，两版教材都从现实情境入手，借助图像、操作、语言等表征方式逐步抽象到数字符号，又根据数据符号寻找现实生活的例子，这样编排的思路和表征方式选择，从具体到抽象又回到具体，让学生逐步将客观事物的数量内化为基数意义的认知结构中，从而促进基数意义的理解。特别指出两版教材都采用拨珠子的方式学习基数意义，不但有助于抽象出数字，更有利于理解10以内数逐一增加的关系和数序。
三、 对一线老师数概念教学有什么启示？
（一） 解读教材要抓住概念本质进行。从上面的比较可以看出，同样基数意义可以采用不同的路径和例题进行教学，但万变不离其宗，形式为内容服务，要抓住上位概念进行取舍和整合，抓住概念的本质属性选择教学材料，根据抽象程度，合理安排教学材料呈现顺序，帮助学生逐步形成概念。
（二） 概念教学可以利用多种表征方式的互相转化，让学生多层次、多角度构建意义，丰富概念知识内涵和外延，从而促进概念的建构和理解。
参考文献：
[1]刘坚，孔企平，张丹主编.义务教育教科书数学一年级上册[M].北京师范大学出版社.
[2]卢江，杨刚主编.义务教育教科书数学一年级上册[M].人民教育出版社.
[3]义务教育教科书教师教学用书数学一年级上册[M].北京师范大学出版社.
[4]义务教育教科书教师教学用书数学一年级上册[M].人民教育出版社.
[5]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海教育出版社.
[6]巩子坤.程序性知识教与学[M].广西教育出版社.
[7]席爱勇.数学多元表征：让概念形成过程“看得见”[J].教育研究与评论小学教育教学，2017（9）.
作者简介：林文伟，浙江省丽水市，浙江省景宁畲族自治县第一实验小学。
关键词：基数意义；教材对比；理解路径
对当前各个地区使用的不同版本教材对“10的基数意义认识”的有不同编写思路，对比解读不同版本教材对基数意义内容编写共同特点，不仅有利于一线教师科学合理把握教材，而且还能从中感受到学生理解数概念形成的一般过程，从而指导课堂教学。
一、 什么是基数意义？
弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中第164页指出：基数或势就是数量数的形式化，康托认为基数意义是所有与它等势的集合所共有的，等势就是两个集合元素之间能一一对应。通俗地理解，基数意义就是关于“有多少”，而这个问题，必须通过数已知集合中元素的个数才能回答。以上的观点告诉我们基数意义其实就是在集合中解决“有多少”的问题，它最终的成果是关注个数，不再关注对象，也就是我们平时理解的“表示几”。如10的基数意义就是表示10个元素的集合的类，它并不关注是10个人，或是10只小鸟，它只关注元素的个数是10就可以了。因此，学生对10的基数意义理解就是对含有10个元素的一类集合的抽象概括理解。
二、 怎样促进10的基数意义理解？
（一） 两版教材都围绕基数意义的本质特征（有多少）编排例题
康托认为基数意义是所有与它等势的集合所共有的，等势就是两个集合元素之间能一一对应。对照基数意义概念，两个版本教材例题是怎样体现概念本质的呢？
1. 在例题素材呈现形式上，两版教材都凸显在集合中数数。北师大版教材采用阴影和方框等方式，人教版采用不同类事物（鸽子和人数）以及带阴影的圆圈图，让学生清晰地感受到在集合里数个数，体现集合思想。
2. 在横向材料选择上，两版教材都借助多个集合情景数数，让学生多角度指向集合情境间元素个数间建立等势和一一对应，从而引导学生多层次、多角度抽象基数意义。这样的安排有利于积累学生基数感性经验，有利于感受基数指集合元素个数的等势特点。通俗地说，基数意义它不关注对象物理属性，只关注数量属性。它不关注对象是否具有铅笔属性或是圆圈属性，只要对象是具有10个单位数量元素的数字属性，我们都可以用数字符号10来表示。两版教材都通过多个情境，让学生感受各个可以用10表示的集合都表示10个元素，体会数与集合元素间、各集合元素个数间的一一对应关系，也就是集合等势的本质。北师大教材采用连一连的方式，为学生对等势感受打开新的认识路径——为什么不是10个，是9个？从而打开集合元素个数与10是否一一对应（即等势）的思考与辨析。
3. 从材料抽象程度上看，两版教材都从带单位的具体数量入手抽象到不带单位的书面符号10，逐层建构基数意义。无论是北师大版数铅笔、数圆圈等活动安排还是人教版数鸽子、数人数等活动预设都带有单位的数量数引入，两版教材都借助尺子、拨珠子、涂圆圈、举例子等手段促进数和单位的分离，促进数字符号的抽象。
从以上特点我们不难看出，编者认为基数意义教学本质是在多个带单位的数量集合情景中让学生数数，并通过类比，逐渐让学生将数和单位分离，实现更高层次的符号化的抽象，是一年级基数意义形成一条有效途径。
（二） 两版教材都围绕学生理解意义的路径（多元表征）编排例题
两版教材都采用数一数、涂一涂等多个数学活动促进学生理解10的意义，这些活动体现了编者对学生学习10的意义理解路径的预设。
lesh的表征转化说认为概念理解可以通过5种不同的表征方式来表征，即现实情境（实物）、图像、操作模型、口头语言和书面语言。理解就是用不同的表征方式表征数学概念，并實现表征方式相互转化、建立表征之间的联系，当学生能够将信息从一种表征转换为另一种表征方式时，理解就产生了。（见巩子坤教授《程序性知识教与学》第23页）笔者结合表征转化说五种表征方式相互转化的视角，
1. 两版教材都试图采用多个表征方式间的互相转化，试图建立各种表征方式的横向对应联系，积累基数意义的感性经验，促进学生多个角度归纳基数意义，从而促进学生的理解。需要特别指出的是两版教材都突出运用现实情境、图像和操作表征促进基数意义的理解。这可能是编者基于一年级学生年龄特点和对学生数概念形成的一般路径判断来安排学生活动的。
2. 在安排的先后顺序上，两版教材都从现实情境入手，借助图像、操作、语言等表征方式逐步抽象到数字符号，又根据数据符号寻找现实生活的例子，这样编排的思路和表征方式选择，从具体到抽象又回到具体，让学生逐步将客观事物的数量内化为基数意义的认知结构中，从而促进基数意义的理解。特别指出两版教材都采用拨珠子的方式学习基数意义，不但有助于抽象出数字，更有利于理解10以内数逐一增加的关系和数序。
三、 对一线老师数概念教学有什么启示？
（一） 解读教材要抓住概念本质进行。从上面的比较可以看出，同样基数意义可以采用不同的路径和例题进行教学，但万变不离其宗，形式为内容服务，要抓住上位概念进行取舍和整合，抓住概念的本质属性选择教学材料，根据抽象程度，合理安排教学材料呈现顺序，帮助学生逐步形成概念。
（二） 概念教学可以利用多种表征方式的互相转化，让学生多层次、多角度构建意义，丰富概念知识内涵和外延，从而促进概念的建构和理解。
参考文献：
[1]刘坚，孔企平，张丹主编.义务教育教科书数学一年级上册[M].北京师范大学出版社.
[2]卢江，杨刚主编.义务教育教科书数学一年级上册[M].人民教育出版社.
[3]义务教育教科书教师教学用书数学一年级上册[M].北京师范大学出版社.
[4]义务教育教科书教师教学用书数学一年级上册[M].人民教育出版社.
[5]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海教育出版社.
[6]巩子坤.程序性知识教与学[M].广西教育出版社.
[7]席爱勇.数学多元表征：让概念形成过程“看得见”[J].教育研究与评论小学教育教学，2017（9）.
作者简介：林文伟，浙江省丽水市，浙江省景宁畲族自治县第一实验小学。