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摘 要：探究动态问题，妙用特殊思想。如果一个数学结论对一般情况成立，那么对于特殊值的情况必然成立。因此在解决某些问题时就可以利用特殊值法，选择恰当的特殊值、特殊点、特殊图形来解决，这对烦琐问题的求解意义重大。本文将针对特殊值在动态轨迹中的巧妙运用进行说明。
关键词：数学素养;特殊值;归纳推理;动点问题
1.研究目标
新课程标准提出数学六大核心素养包括数学运算、数学建模、数学抽象、直观想象、逻辑推理、数据分析。可见逻辑推理在数学教学中占有举足轻重的地位。逻辑推理包括归纳推理和演绎推理，它在几何证明中占有重要的地位。逻辑推理的训练能力应该从小培养，为今后的数学学习奠定基础。
《普通高中课程标准（2017年版）》中给出了逻辑能力的界定：通过对数学对象（数学概念、关系、性质、规则、命题等）进行逻辑思考（观察、实验、归纳、类比、演绎），从而做出推论;再进一步寻找证据、给出证明或举出反例说明给出推论的合理性的综合能力。
2.应用广度
动态几何问题是初中数学非常重要的一类题型，因其综合性强、涉及知识点多、解答能力要求较高等特点，一直受到命题者的青睐。在近几年各地的中考、高考试卷中，以动点问题为主的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，成为全卷的难点，考查学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。史宁中教授认为，教学不仅要教给知识，更要帮助学生形成智慧。知识的主要载体是书本，智慧则形成于经验的过程中，形成于经历的活动中，形成于学生应用知识解决实际问题的教育教学实践中。今天我们浅谈下数学六大核心素养中的“逻辑推理”中的“歸纳推理”。它主要体现在特殊值情况代替题设中的普遍条件，得出特殊的结论，从而在解决问题时做出正确判断。这种方法叫做“特殊值法”。题目中已知条件中含有某些不确定的量，而题目的结论是唯一的或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将变量取一些特殊值或特殊的位置、特殊情况来求出这个定值，从而简化了推理、论证的过程。这种方法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函数、特殊角、特殊点、特殊位置等），进行合理科学的判断——否定或肯定，从而达到快速解题的目的。
下面以实例说明特殊值在一些数学问题中的应用。
3.案例展示
（1）解题策略——运用函数模型，静化动点问题
例：已知A是双曲线y=在第一象限上的一动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边做等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图像上运动，则这个函数解析式为（ ）
A.y=-（x>0） B.y=（x>0）
C.y=-6x（x>0） D.y=6x（x>0）
[分析]：A为动点，AB为动线。考虑A及AB的特殊位置，使得点A及直线AB为定点和定直线，把动态问题转化为常规问题。
解：如右图，当AB与x轴正半轴的夹角为45？紫时;当直线AB为一三象限的角分线时，直线AB为y=x，此时可求出点A（，），∠ACO=30？紫，OC=2，即点C的坐标为（，- ），k=×-=-6，即函数解析式为y= （x>0）
解：如下图，当AB与x轴正半轴的夹角为60？紫时;当直线AB为一三象限的角分线时，直线AB为y=x，此时可求出点A（ x，x ），且k=x×x=2。则OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即点C的坐标为（3x，- x ），k=3x×- x=-3x2=6，即函数解析式为y= （x>0）
解：如下图，当AB与x轴正半轴的夹角为30？紫时;当直线AB为一三象限的角分线时，直线AB为y= x ，此时可求出点A（x，x ），且k=x×x=2。则OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即点C的坐标为（x，-3x ），k= 3x×- x=-3x2=6，即函数解析式为y= （x>0）
[解析]首先判断点C的轨迹，若是选择题，便可直接带入点去验证，若本题为填空题，无论特殊点A选在哪里，都会得到一个确定的C点，尝试两次即可发现此轨迹为反比例函数的一支。代入点求出函数表达式。
（一般证明求解。）
解：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C做x轴的垂线交x轴于点F。
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30？紫;
OC=OA;
△AOE∽△OCF;
===;
OF=AE，CF=OE;
∴OF×CF=3AE×OE=6
即函数解析式为：y=（x>0）
[评析]本题是考查反比例函数的综合题。自然解法源于高观点的统领[1]，本题涉及了直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考查的知识点较多。解答本题的关键是将所学知识融会贯通。由于本题是选择题，引导学生自然化的解决问题，化动点为定线，培养核心素养，简单巧妙地解决问题。此题要想求出函数解析式，只要求点C函数轨迹，即点C的横纵坐标。由于此题中点C是一个动点，因此让直线AB选取特定的位置，选定A、B点C的位置就很容易确定了。若要规范地证明此题需要一个完整的思考体系，一般的学生很难得到标准答案。因此在做选择填空题时，学生应该学会适当地把握主线、学会巧妙化动为定。
（2）尝试运用——打破思维定式，寻找最优解法 例：如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于点E，F。且EF=6。则AE2+BF 2的值为（ ）
（A）9 （B）16 （C）18 （D）36
[分析]本题直接解对有些学生来讲比较困难。因此此题可以选取特殊点的方法，让点E、点F都取线段的中点，很容易得到答案。由此可见特殊点的选取在做题时很实用，即很快能得到答案。
解：由平方加平方形式考虑到构造勾股定理，在BA上取BG=AE，则△AEG≌△BGF，AE2+BF 2=FG2，易得出答案。
[评析]对于这类特殊值的带入方法，若教师在平时的教学中能有意识地进行引导总结，形成固定的套路方法，那么学生在解题时就能主动运用“特殊值”来解决这样的问题，打破思维定式，寻找最优解法[2]。
（3）问题迁移——精选思维起点，巧解数学问题
哈师大附属中学数学学科期末检测试卷中选择题第十二题作为选择题中的压轴题得分率较低，下面探究能否运用特殊值法去解决问题。
下列关于一元二次方程x2+bx+c=0 的四个命题：
① 当c=0，b≠0时，这个方程一定有两个不相等的实数根;
② 当c≠0时，若p是方程x2+bx+c=0 的一个根，则是方程cx2+bx+1=0 的一个根;
③ 若c<0，则一定存在两个实数m<n，使得m2+mb+c<0< n2+nb+c;
④ 若p，q是方程的两个实数根，则p-q=。
其中是假命题的序号是
（A）① （B）② （C）③ （D）④
[分析]（1）很容易判斷出b2-4ac=b2<0 即有两个不等的实数根。
（2）由p是方程的一个根可知p2+bp+c=0，方程两边同时除以p2可推导++1=0 。若用特殊值法可以选取p=2代入x2+bx+c=0，得2b+c=-4，把代入cx2+bx+1=0， 得++1=0 ，2b+c=-4，因此②正确。
（3）c<0 ，b2-4ac=b2>0，函数y=x2+bx+c=0与x轴有两个交点，画出图象一定可以找到两个实数m<n，使得m2+mb+c<0< n2+nb+c;对于低年级学生难度较大。
（4）以通过韦达定理去求p-q的值，也可以选取特殊的p，q带入验证。例如若选取p=2，q=3为方程的根，此时方程为x2-5x+6=0 ，即b=-5，c=6。通过验证可以发现p-q=不成立，因此本题答案是D。
[点评]本题是哈师大附中某次期末考试中选择题的最后一道题。对于难题我们应该巧妙地选取特殊值。“特殊化”策略不但是解决数学问题的重要手段，也是发现数学真理的重要工具。因此，在数学教学中，有必要加强“特殊值法”的教学。
4.思考与分析
（1）反思——螺旋上升，层层深入
逻辑推理能力是学生创造力的基础，是构成优秀人才的要素之一。具有较高逻辑思维能力的学生，能够依据已有的知识和事实，遵循一定的法则，按照严密的步骤进行抽象、概括、判断、推理，从已知到未知，把握事物的本质。可见，在日常教学中教师应该注重学生逻辑推理能力的培养，让他们学会精巧地解决问题。
众所周知，数学选择题只有四个选项，并且只有一项是正确答案，这也正体现了数学的严密性。正是它的严密性和唯一性，才使得我们敢大胆地使用“取特殊值法”来找出答案。所谓的 “取特殊值法”就是对题目中的某些变量赋值[3]。动态轨迹问题是热门题型，如果考生能够熟练地运用特殊值法常常会起到事半功倍的效果。
（2）分析——单因素方差分析对比真实数据
根据海伦市第一中学数学成绩和本题的得分情况，区里统考统批，尽可能地排除误差，年级总人数1231，通过对6个班级的数学成绩对比分析数据如下：
单因素方差分析结果（参考水平P值选取0.05），利用假设检验的思想;原假设为u1=u2=u3=u4=u5=u6;即假设无差异。
通过分析可发现P值为0.228，即拒绝原假设，因此6个班的成绩有差异。假定方差的齐性，下面进行LSD多重比较，同样参考水平P值选取0.05，考虑95%的置信区间。
*.均值差的显著性水平为 0.05.
参照上表可以发现801班和806班显著性是0.046， 804班和806班的显著性是0.018。这两组数据的差异性比较大，有理由拒绝原假设。因此通过分析后的结论是6个班的成绩存在差异，即四班和一班成绩相对较好。
本题702班做错的人数17人，明显差异大于其他几个班级的人数，比例明显高于其他班级。因此702班的老师在合情推理方面多加渗透，虽然作为选择题的压轴题还是有难度，本题做的好的班级并不是成绩好的班级。所以相对于学情而言，应该选择适合学生的得分方式，培养数学素养。
（3）回归——自然通法，循序渐进
张景中先生认为：“一种方法解很多题，要好过很多方法解一个题。这一种方法绝不是灵机一动的妙法，而应是最基本、最重要、最自然的通法。”其实站在数学思维的角度看，自然的解法才是最好的方法，才是学生能想到的方法，也是能引起思维共鸣的方法。因此，在处理特定的问题时，我们可以打破思维定式，自然而常规地解决高考选择、填空题中的难题。
参考文献：
[1] 张青云.从“直接探索”“到几何直观”[J].中学数学教学参考，2015（1-2）.
[2]李建华.精选思维起点，巧解数学问题[J].学术研究，2013（1）.
[3] 韩新正. 巧用旋转 整合条件 通法解题[J].中学生数学，2016（1）.
编辑/魏继军
关键词：数学素养;特殊值;归纳推理;动点问题
1.研究目标
新课程标准提出数学六大核心素养包括数学运算、数学建模、数学抽象、直观想象、逻辑推理、数据分析。可见逻辑推理在数学教学中占有举足轻重的地位。逻辑推理包括归纳推理和演绎推理，它在几何证明中占有重要的地位。逻辑推理的训练能力应该从小培养，为今后的数学学习奠定基础。
《普通高中课程标准（2017年版）》中给出了逻辑能力的界定：通过对数学对象（数学概念、关系、性质、规则、命题等）进行逻辑思考（观察、实验、归纳、类比、演绎），从而做出推论;再进一步寻找证据、给出证明或举出反例说明给出推论的合理性的综合能力。
2.应用广度
动态几何问题是初中数学非常重要的一类题型，因其综合性强、涉及知识点多、解答能力要求较高等特点，一直受到命题者的青睐。在近几年各地的中考、高考试卷中，以动点问题为主的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，成为全卷的难点，考查学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。史宁中教授认为，教学不仅要教给知识，更要帮助学生形成智慧。知识的主要载体是书本，智慧则形成于经验的过程中，形成于经历的活动中，形成于学生应用知识解决实际问题的教育教学实践中。今天我们浅谈下数学六大核心素养中的“逻辑推理”中的“歸纳推理”。它主要体现在特殊值情况代替题设中的普遍条件，得出特殊的结论，从而在解决问题时做出正确判断。这种方法叫做“特殊值法”。题目中已知条件中含有某些不确定的量，而题目的结论是唯一的或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将变量取一些特殊值或特殊的位置、特殊情况来求出这个定值，从而简化了推理、论证的过程。这种方法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函数、特殊角、特殊点、特殊位置等），进行合理科学的判断——否定或肯定，从而达到快速解题的目的。
下面以实例说明特殊值在一些数学问题中的应用。
3.案例展示
（1）解题策略——运用函数模型，静化动点问题
例：已知A是双曲线y=在第一象限上的一动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边做等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图像上运动，则这个函数解析式为（ ）
A.y=-（x>0） B.y=（x>0）
C.y=-6x（x>0） D.y=6x（x>0）
[分析]：A为动点，AB为动线。考虑A及AB的特殊位置，使得点A及直线AB为定点和定直线，把动态问题转化为常规问题。
解：如右图，当AB与x轴正半轴的夹角为45？紫时;当直线AB为一三象限的角分线时，直线AB为y=x，此时可求出点A（，），∠ACO=30？紫，OC=2，即点C的坐标为（，- ），k=×-=-6，即函数解析式为y= （x>0）
解：如下图，当AB与x轴正半轴的夹角为60？紫时;当直线AB为一三象限的角分线时，直线AB为y=x，此时可求出点A（ x，x ），且k=x×x=2。则OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即点C的坐标为（3x，- x ），k=3x×- x=-3x2=6，即函数解析式为y= （x>0）
解：如下图，当AB与x轴正半轴的夹角为30？紫时;当直线AB为一三象限的角分线时，直线AB为y= x ，此时可求出点A（x，x ），且k=x×x=2。则OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即点C的坐标为（x，-3x ），k= 3x×- x=-3x2=6，即函数解析式为y= （x>0）
[解析]首先判断点C的轨迹，若是选择题，便可直接带入点去验证，若本题为填空题，无论特殊点A选在哪里，都会得到一个确定的C点，尝试两次即可发现此轨迹为反比例函数的一支。代入点求出函数表达式。
（一般证明求解。）
解：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C做x轴的垂线交x轴于点F。
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30？紫;
OC=OA;
△AOE∽△OCF;
===;
OF=AE，CF=OE;
∴OF×CF=3AE×OE=6
即函数解析式为：y=（x>0）
[评析]本题是考查反比例函数的综合题。自然解法源于高观点的统领[1]，本题涉及了直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考查的知识点较多。解答本题的关键是将所学知识融会贯通。由于本题是选择题，引导学生自然化的解决问题，化动点为定线，培养核心素养，简单巧妙地解决问题。此题要想求出函数解析式，只要求点C函数轨迹，即点C的横纵坐标。由于此题中点C是一个动点，因此让直线AB选取特定的位置，选定A、B点C的位置就很容易确定了。若要规范地证明此题需要一个完整的思考体系，一般的学生很难得到标准答案。因此在做选择填空题时，学生应该学会适当地把握主线、学会巧妙化动为定。
（2）尝试运用——打破思维定式，寻找最优解法 例：如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于点E，F。且EF=6。则AE2+BF 2的值为（ ）
（A）9 （B）16 （C）18 （D）36
[分析]本题直接解对有些学生来讲比较困难。因此此题可以选取特殊点的方法，让点E、点F都取线段的中点，很容易得到答案。由此可见特殊点的选取在做题时很实用，即很快能得到答案。
解：由平方加平方形式考虑到构造勾股定理，在BA上取BG=AE，则△AEG≌△BGF，AE2+BF 2=FG2，易得出答案。
[评析]对于这类特殊值的带入方法，若教师在平时的教学中能有意识地进行引导总结，形成固定的套路方法，那么学生在解题时就能主动运用“特殊值”来解决这样的问题，打破思维定式，寻找最优解法[2]。
（3）问题迁移——精选思维起点，巧解数学问题
哈师大附属中学数学学科期末检测试卷中选择题第十二题作为选择题中的压轴题得分率较低，下面探究能否运用特殊值法去解决问题。
下列关于一元二次方程x2+bx+c=0 的四个命题：
① 当c=0，b≠0时，这个方程一定有两个不相等的实数根;
② 当c≠0时，若p是方程x2+bx+c=0 的一个根，则是方程cx2+bx+1=0 的一个根;
③ 若c<0，则一定存在两个实数m<n，使得m2+mb+c<0< n2+nb+c;
④ 若p，q是方程的两个实数根，则p-q=。
其中是假命题的序号是
（A）① （B）② （C）③ （D）④
[分析]（1）很容易判斷出b2-4ac=b2<0 即有两个不等的实数根。
（2）由p是方程的一个根可知p2+bp+c=0，方程两边同时除以p2可推导++1=0 。若用特殊值法可以选取p=2代入x2+bx+c=0，得2b+c=-4，把代入cx2+bx+1=0， 得++1=0 ，2b+c=-4，因此②正确。
（3）c<0 ，b2-4ac=b2>0，函数y=x2+bx+c=0与x轴有两个交点，画出图象一定可以找到两个实数m<n，使得m2+mb+c<0< n2+nb+c;对于低年级学生难度较大。
（4）以通过韦达定理去求p-q的值，也可以选取特殊的p，q带入验证。例如若选取p=2，q=3为方程的根，此时方程为x2-5x+6=0 ，即b=-5，c=6。通过验证可以发现p-q=不成立，因此本题答案是D。
[点评]本题是哈师大附中某次期末考试中选择题的最后一道题。对于难题我们应该巧妙地选取特殊值。“特殊化”策略不但是解决数学问题的重要手段，也是发现数学真理的重要工具。因此，在数学教学中，有必要加强“特殊值法”的教学。
4.思考与分析
（1）反思——螺旋上升，层层深入
逻辑推理能力是学生创造力的基础，是构成优秀人才的要素之一。具有较高逻辑思维能力的学生，能够依据已有的知识和事实，遵循一定的法则，按照严密的步骤进行抽象、概括、判断、推理，从已知到未知，把握事物的本质。可见，在日常教学中教师应该注重学生逻辑推理能力的培养，让他们学会精巧地解决问题。
众所周知，数学选择题只有四个选项，并且只有一项是正确答案，这也正体现了数学的严密性。正是它的严密性和唯一性，才使得我们敢大胆地使用“取特殊值法”来找出答案。所谓的 “取特殊值法”就是对题目中的某些变量赋值[3]。动态轨迹问题是热门题型，如果考生能够熟练地运用特殊值法常常会起到事半功倍的效果。
（2）分析——单因素方差分析对比真实数据
根据海伦市第一中学数学成绩和本题的得分情况，区里统考统批，尽可能地排除误差，年级总人数1231，通过对6个班级的数学成绩对比分析数据如下：
单因素方差分析结果（参考水平P值选取0.05），利用假设检验的思想;原假设为u1=u2=u3=u4=u5=u6;即假设无差异。
通过分析可发现P值为0.228，即拒绝原假设，因此6个班的成绩有差异。假定方差的齐性，下面进行LSD多重比较，同样参考水平P值选取0.05，考虑95%的置信区间。
*.均值差的显著性水平为 0.05.
参照上表可以发现801班和806班显著性是0.046， 804班和806班的显著性是0.018。这两组数据的差异性比较大，有理由拒绝原假设。因此通过分析后的结论是6个班的成绩存在差异，即四班和一班成绩相对较好。
本题702班做错的人数17人，明显差异大于其他几个班级的人数，比例明显高于其他班级。因此702班的老师在合情推理方面多加渗透，虽然作为选择题的压轴题还是有难度，本题做的好的班级并不是成绩好的班级。所以相对于学情而言，应该选择适合学生的得分方式，培养数学素养。
（3）回归——自然通法，循序渐进
张景中先生认为：“一种方法解很多题，要好过很多方法解一个题。这一种方法绝不是灵机一动的妙法，而应是最基本、最重要、最自然的通法。”其实站在数学思维的角度看，自然的解法才是最好的方法，才是学生能想到的方法，也是能引起思维共鸣的方法。因此，在处理特定的问题时，我们可以打破思维定式，自然而常规地解决高考选择、填空题中的难题。
参考文献：
[1] 张青云.从“直接探索”“到几何直观”[J].中学数学教学参考，2015（1-2）.
[2]李建华.精选思维起点，巧解数学问题[J].学术研究，2013（1）.
[3] 韩新正. 巧用旋转 整合条件 通法解题[J].中学生数学，2016（1）.
编辑/魏继军