论文部分内容阅读
【摘要】学生初次接触倍比关系，对“倍”的理解比较困难，教师借助形象的直观图，引导学生经历多种结构的变化表象，在比较中舍弃不相干的因素，在变化中抓住不变的“倍”关系，从而理解“倍”的概念，领悟“倍”的本质，使学生对“倍”的认识达到概念性的水平。
【关键词】变化因素；“倍的认识”；概念本质
比较两个数量的大小，有两种基本方法，一种是比较它们的差，另一种是它们的比率关系。学生第一次接触比率关系，就是对“整数倍”的学习，学生学习时感觉会比较困难。因此，倍的初步认识应该创设符合学生认知规律而且又能解释“倍”概念的情景活动，让学生在多层次的活动中领悟“倍”的本质。之前笔者已听过几次这个内容的课，基本都是通过摆一摆、圈一圈等操作活动让学生不断在脑海里建立“多少个几就是几的多少倍”的模型。在一次教研活动中，笔者又听了“倍的认识”一课，而这节课的亮点在于教师帮助学生构建标准模型后，再让学生经历多种“变化”的现象，引导学生从不断的“变化”中抽象出“不变”的本质。
片段一：在数量的“变化”中进一步认识“倍”
教材例题素材是：小白兔在吃萝卜，胡萝卜2根，红萝卜6根，白萝卜10根。通过例题的学习得出“红萝卜是胡萝卜的3倍，白萝卜是胡萝卜的5倍”后，学生已初步感知了“倍”的含义，初步了解了“倍”可以表示两个量之间的关系，建立“多少个几就是几的多少倍”的标准模型，但认识的思维深度是不够的，教师就设计了一个“标准量不变，比较量不断变化”的环节。
师：胡萝卜2根这个标准不变，白萝卜增加或减少根数，白萝卜又是胡萝卜的几倍？
1.胡萝卜2根这一标准量不变，白萝卜由10根增加到12根。（如图）
师：谁知道白萝卜和胡萝卜之间存在了怎样的倍数关系？
生1： 白萝卜的根数是胡萝卜的6倍。
师：你是根据什么来想的？
生1：把2根胡萝卜看作一份，12根白萝卜就有6个这样的一份，也就是有6个2根，所以就说白萝卜的根数是胡萝卜的6倍。
2.2根胡萝卜这一标准量不变，白萝卜增加到14根。（如图）
师：从图中你又能发现什么倍数关系呢？
生2：白萝卜的根数是胡萝卜的7倍
3.胡萝卜2根这一标准量不变，白萝卜由10根减少到2根。（如图）
师：现在白萝卜减少到了2根，你又有什么发现？
生3：胡萝卜是1个2根，白萝卜的根数也正好是1个2根。
师：你能用关于倍的语言说说吗？
生3：白萝卜的根数是胡萝卜的1倍。
生3：还可以说胡萝卜的根数是白萝卜的1倍。
师：同学们的表达非常好，可以再举例子说说白萝卜与胡萝卜的关系吗？
生4：2根胡萝卜，20根白萝卜，白萝卜就是有10个2根，就说白萝卜的根数是胡萝卜的10倍。
生5：2根胡萝卜，100根白萝卜，白萝卜就是有50个2根，就说白萝卜的根数是胡萝卜的50倍。
师：通过大家列举的例子，你有什么发现？
生6：有几个2根就是几倍。
师：看来同学们都体会到了，只要胡萝卜是2根这个标准不变，白萝卜的根数有几个2根，那么白萝卜的根数就是胡萝卜的几倍。
教师先通过不断增加白萝卜的份数，引导学生依次认识6倍、7倍……，然后却把白萝卜的数量减少到1份，这时，学生顺势理解“1倍”，接着再让学生自己举例子，标准量始终保持不变，比较量不断变化，在变与不变的比较中，学生对两个数量关系的感知实实在在，这种数学活动经验的积累对理解“倍”关系尤为重要。在充分感知这些“变化”的现象后，教师抓住时机抛出一个问题：“你有什么发现？”学生思考抽象出“白萝卜有胡萝卜这样的几份，白萝卜就是胡萝卜的几倍”就水到渠成了，对较难理解的“1倍”也自然得到突破，从而能较好领悟“1份”对应“1倍”“几份”对应“几倍”。
片段二：在模型的“变化”中深化认识“倍”
学生领悟了“有这样的几份就是几倍”后，已经能较好地理解“倍”这一概念，但学生所经历的直观模型都是排列整齐的标准结构，这样的标准结构还不能更好地促进学生真正地深入思考，因此，教师提供了一次“变式结构”的练习题给学生辨析。题目如下：
蘋果是桃子的 倍。
师：同学们，你知道这幅图中的苹果与桃子的倍数关系吗？你是怎样想的？
生：苹果是桃子的2倍，我这样想，有4个桃子， 4个为1份，有8个苹果，4个为1份，就有2份。
这幅图打乱了图形的排列顺序，没有原来的标准结构那样直观地表示出“有这样的几份”，这种变式结构，要得出“几倍”，需先辨析出有“几份”。这就要引导学生舍弃表象、深入关注本质，抽象“1份”和“几份”，达到深化对“倍”的认识。
以上两个片段的设计都帮助了学生逐一舍弃那些“变化”的因素，提取出“不变”的本质，使学生较好地理解了“一个数是另一个数的几倍”的含义。概念的学习，需要继承既定的东西，但又不能被动接受，所以，就需要让学生经历丰富的去伪存真、由表及里的思维活动。
“没有最好，只有更好。”随着一节好课的结束，笔者还在思考：这节“倍的认识”的教学之所以比较成功，是因为教师善于设计“在变中抓不变”的教学活动，可是，在两个“变化”环节的设计上，笔者觉得还可以设计得更完整。
片段一的环节，学生只是经历了“标准量不变，比较量变化”这一种情况，如果另一种情况“比较量不变，标准量变化”也让学生经历的话，学生将会更好地领悟“不管两个量怎样变化，只要是一个量里包含几个另一个量，就可以说一个量是另一个量的几倍”这一本质，而且还渗透了正反比例的思想。
片段二的环节，除了提供打乱排列顺序的变式结构，还可以提供错误结构让学生辨析，如：根据下图判断“●的个数是▲的3倍”是否正确？
▲▲▲▲
●●●● ●●●● ●●●
这样，让学生在错误结构的比较辨析中，进一步理解“几个几”的正确结构，再一次加深对倍的认识。
教育家乌申斯基说：“比较是一切理解和一切思维的基础。”没有比较就没有抽象，认识“倍”概念的过程，就是比较两个数量时抽象出“几个几”的过程，也就是学生抽象领悟“倍”本质的过程。所以，教学中多让学生在变化中比较，在比较中舍弃“变化”的因素，领悟“不变”的本质，才能使学生对“倍”的认识达到概念性的水平。
【关键词】变化因素；“倍的认识”；概念本质
比较两个数量的大小，有两种基本方法，一种是比较它们的差，另一种是它们的比率关系。学生第一次接触比率关系，就是对“整数倍”的学习，学生学习时感觉会比较困难。因此，倍的初步认识应该创设符合学生认知规律而且又能解释“倍”概念的情景活动，让学生在多层次的活动中领悟“倍”的本质。之前笔者已听过几次这个内容的课，基本都是通过摆一摆、圈一圈等操作活动让学生不断在脑海里建立“多少个几就是几的多少倍”的模型。在一次教研活动中，笔者又听了“倍的认识”一课，而这节课的亮点在于教师帮助学生构建标准模型后，再让学生经历多种“变化”的现象，引导学生从不断的“变化”中抽象出“不变”的本质。
片段一：在数量的“变化”中进一步认识“倍”
教材例题素材是：小白兔在吃萝卜，胡萝卜2根，红萝卜6根，白萝卜10根。通过例题的学习得出“红萝卜是胡萝卜的3倍，白萝卜是胡萝卜的5倍”后，学生已初步感知了“倍”的含义，初步了解了“倍”可以表示两个量之间的关系，建立“多少个几就是几的多少倍”的标准模型，但认识的思维深度是不够的，教师就设计了一个“标准量不变，比较量不断变化”的环节。
师：胡萝卜2根这个标准不变，白萝卜增加或减少根数，白萝卜又是胡萝卜的几倍？
1.胡萝卜2根这一标准量不变，白萝卜由10根增加到12根。（如图）
师：谁知道白萝卜和胡萝卜之间存在了怎样的倍数关系？
生1： 白萝卜的根数是胡萝卜的6倍。
师：你是根据什么来想的？
生1：把2根胡萝卜看作一份，12根白萝卜就有6个这样的一份，也就是有6个2根，所以就说白萝卜的根数是胡萝卜的6倍。
2.2根胡萝卜这一标准量不变，白萝卜增加到14根。（如图）
师：从图中你又能发现什么倍数关系呢？
生2：白萝卜的根数是胡萝卜的7倍
3.胡萝卜2根这一标准量不变，白萝卜由10根减少到2根。（如图）
师：现在白萝卜减少到了2根，你又有什么发现？
生3：胡萝卜是1个2根，白萝卜的根数也正好是1个2根。
师：你能用关于倍的语言说说吗？
生3：白萝卜的根数是胡萝卜的1倍。
生3：还可以说胡萝卜的根数是白萝卜的1倍。
师：同学们的表达非常好，可以再举例子说说白萝卜与胡萝卜的关系吗？
生4：2根胡萝卜，20根白萝卜，白萝卜就是有10个2根，就说白萝卜的根数是胡萝卜的10倍。
生5：2根胡萝卜，100根白萝卜，白萝卜就是有50个2根，就说白萝卜的根数是胡萝卜的50倍。
师：通过大家列举的例子，你有什么发现？
生6：有几个2根就是几倍。
师：看来同学们都体会到了，只要胡萝卜是2根这个标准不变，白萝卜的根数有几个2根，那么白萝卜的根数就是胡萝卜的几倍。
教师先通过不断增加白萝卜的份数，引导学生依次认识6倍、7倍……，然后却把白萝卜的数量减少到1份，这时，学生顺势理解“1倍”，接着再让学生自己举例子，标准量始终保持不变，比较量不断变化，在变与不变的比较中，学生对两个数量关系的感知实实在在，这种数学活动经验的积累对理解“倍”关系尤为重要。在充分感知这些“变化”的现象后，教师抓住时机抛出一个问题：“你有什么发现？”学生思考抽象出“白萝卜有胡萝卜这样的几份，白萝卜就是胡萝卜的几倍”就水到渠成了，对较难理解的“1倍”也自然得到突破，从而能较好领悟“1份”对应“1倍”“几份”对应“几倍”。
片段二：在模型的“变化”中深化认识“倍”
学生领悟了“有这样的几份就是几倍”后，已经能较好地理解“倍”这一概念，但学生所经历的直观模型都是排列整齐的标准结构，这样的标准结构还不能更好地促进学生真正地深入思考，因此，教师提供了一次“变式结构”的练习题给学生辨析。题目如下：
蘋果是桃子的 倍。
师：同学们，你知道这幅图中的苹果与桃子的倍数关系吗？你是怎样想的？
生：苹果是桃子的2倍，我这样想，有4个桃子， 4个为1份，有8个苹果，4个为1份，就有2份。
这幅图打乱了图形的排列顺序，没有原来的标准结构那样直观地表示出“有这样的几份”，这种变式结构，要得出“几倍”，需先辨析出有“几份”。这就要引导学生舍弃表象、深入关注本质，抽象“1份”和“几份”，达到深化对“倍”的认识。
以上两个片段的设计都帮助了学生逐一舍弃那些“变化”的因素，提取出“不变”的本质，使学生较好地理解了“一个数是另一个数的几倍”的含义。概念的学习，需要继承既定的东西，但又不能被动接受，所以，就需要让学生经历丰富的去伪存真、由表及里的思维活动。
“没有最好，只有更好。”随着一节好课的结束，笔者还在思考：这节“倍的认识”的教学之所以比较成功，是因为教师善于设计“在变中抓不变”的教学活动，可是，在两个“变化”环节的设计上，笔者觉得还可以设计得更完整。
片段一的环节，学生只是经历了“标准量不变，比较量变化”这一种情况，如果另一种情况“比较量不变，标准量变化”也让学生经历的话，学生将会更好地领悟“不管两个量怎样变化，只要是一个量里包含几个另一个量，就可以说一个量是另一个量的几倍”这一本质，而且还渗透了正反比例的思想。
片段二的环节，除了提供打乱排列顺序的变式结构，还可以提供错误结构让学生辨析，如：根据下图判断“●的个数是▲的3倍”是否正确？
▲▲▲▲
●●●● ●●●● ●●●
这样，让学生在错误结构的比较辨析中，进一步理解“几个几”的正确结构，再一次加深对倍的认识。
教育家乌申斯基说：“比较是一切理解和一切思维的基础。”没有比较就没有抽象，认识“倍”概念的过程，就是比较两个数量时抽象出“几个几”的过程，也就是学生抽象领悟“倍”本质的过程。所以，教学中多让学生在变化中比较，在比较中舍弃“变化”的因素，领悟“不变”的本质，才能使学生对“倍”的认识达到概念性的水平。