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数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点.每年基本都是以一大一小两道题的形式出现.近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本性质和基本思想方法，而且考查了学生的各种能力.解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、导数、方程、不等式、解几等知识的综合性运用，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.
题型一、有关数列的基本问题
这类题围绕等差、等比数列的基本知识、基本公式、基本性质命题，难度不大，同学们应注意基本方法的训练，灵活运用相关性质，提高解题速度和准确性.
例1（11年重庆理11）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=_____________.
【解析】 本题考查了等差数列的基本性质之一：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.当然，本题也可以通过基本量法求解.
例2（11年四川理8改）数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1—an（n∈N*）.若b3=—2，b10=12，则a8=____________.
【解析】 本题考查了等差数列的通项公式与累加法求和.累加法和累积法是数列常用求通项公式的方法.由已知易得bn=2n—8∴an+1—an=2n—8，由叠加法得
（a2—a1）+（a3—a2）+…+（a8—a7）=—6+（—4）+（—2）+0+2+4+6=0a8=a1=3
题型二、数列中的推理问题
数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用立体几何题来考查逻辑推理能力，近几年在数列题中也加强了推理能力的考查.
例3（08年江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
23
456
78910
1112131415
………………
按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为____________.
【解析】 本题考查了归纳推理，等差数列的前n项和.
前n—1 行共有正整数1+2+…+（n—1）个，即n2—n2个，
∴第n行第3个数是全体正整数中第n2—n2+3个，即为n2—n+62.
题型三、数列与导数
例4（2006年江苏）对正整数n，设曲线y=xn（1—x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{ann+1}的前n项和的公式是____________.
【解析】 本题考查了应用导数求曲线切线的斜率、数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式.∵y=xn（1—x），∴y′=nxn—1—（n+1）xn.
∴曲线y=xn（1—x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n—1—（n+1）2n，切点为（2，—2n）.
∴所以切线方程为y+2n=[n2n—1—（n+1）2n]（x—2）.把x=0，y=an代入，得an=（n+1）2n.∴ann+1=2n.∴数列{ann+1}的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1—2.
题型四、数列与解析几何
例5（2010安徽文21）设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=33x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列.
（Ⅰ）证明：{rn}为等比数列；
（Ⅱ）设r1=1，求数列{nrn}的前n项和.
【解析】 本题考查了等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项an与an+1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用错位相减法解决.
解：（Ⅰ）将直线y=33x的倾斜角记为θ，则有tanθ=33，sinθ=12
记Cn的圆心为（λn，0），则由题意知rnλn=12，得λn=2rn；同理λn+1=2rn+1，从而
λn+1=λn+rn+rn+1，将λn=2rn代入，解得rn+1=3rn，故{rn}是公比q=3的等比数列.
（Ⅱ）由于rn=1，q=3，故rn=3n—1，从而nrn=n（13）n—1，记Sn=1r1+2r2+…+nrn，
则有Sn=1+2·13+3·（13）2+…+n·（13）n—1，①
Sn3=1·13+2·（13）2+…+（n—1）·（13）n—1+n·（13）n，②
①—②得2Sn3=1+13+（13）2+…+（13）n—1—n·（13）n=1—（13）n23—n·（13）n
=32—（n+32）·（13）n
Sn=9—（2n+3）（13）n—14
题型五、数列与不等式
数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的证明题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点.
例6（08湖北）已知数列{an}和{bn}满足：
a1=λ，an+1=23an+n—4，bn=（—1）n（an—3n+21），其中λ为实数，n为正整数. （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0 【解析】 本题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理论证能力.
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，即
（23λ—3）2=λ（49λ—4）49λ2—4λ+9=49λ2—4λ9=0，矛盾.
所以{an}不是等比数列.
（Ⅱ）解：因为bn+1=（—1）n+1[an+1—3（n+1）+21]=（—1）n+1（23an—2n+14）
=—23（—1）n（an—3n+21）=—23bn
又b1=—（λ+18），所以当λ=—18时，bn=0（n∈N*），此时{bn}不是等比数列；
当λ≠—18时，b1=—（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，∴bn+1bn=—23（n∈N*）
故当λ≠—18时，数列{bn}是以—（λ+18）为首项，—23为公比的等比数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=—18时，bn=0，Sn=0，不满足题目要求.
∴λ≠—18，故知bn=—（λ+18）（—23）n—1，于是可得Sn=—35（λ+18）[1—（—23）n]
要使a0恒成立
∴a1—（—23）n<—35（λ+18） 令f（n）=1—（—23）n，则当n为正奇数时，1<f（n）≤53；当n为正偶数时，59≤f（n）<1
∴f（n）的最大值为f（1）=53，f（n）的最小值为f（2）=59，
于是，由①式得95a<—35（λ+18）<35b—b—18<λ<—3a—18
∴当a 当b>3a时，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a 题型六、数列与应用题结合
数列应用题主要注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识加以解决.
例7（12湖南文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
【解析】 本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和利用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出an+1与an的关系式an+1=32an—d，第二问，只要把第一问中的an+1=32an—d迭代，即可解决.也可通过构造等比数列求解.
解：（Ⅰ）由题意得a1=2000（1+50%）—d=3000—d，a2=a1（1+50%）—d=32a1—d，
an+1=an（1+50%）—d=32an—d.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=32an—1—d=（32）2an—2—32d—d=32（32an—2—d）—d=…=（32）n—1a1—d[1+32+（32）2+…+（32）n—2].
整理得an=（32）n—1（3000—d）—2d[（32）n—1—1]=（32）n—1（3000—3d）+2d.
由题意，am=4000，∴（32）m—1（3000—3d）+2d=4000，
解得d=[（32）m—2]×1000（32）m—1=1000（3m—2m+1）3m—2m.
故该企业每年上缴资金d的值为1000（3m—2m+1）3m—2m，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000元.
总结：数列的考查方法变化多端，但不管数列与哪一部分知识内容交汇，数列自身的内容仍是大家需要重点掌握的.对数列自身来讲，主要有以下题型：一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）观察法；（2）利用an与Sn的关系an=Sn—Sn—1（n≥2），注意验证首项；（3）利用递推关系包括累加法、累乘法、构造数列等.二、求数列的前n项和，主要方法有：（1）倒序相加法（2）错位相减法（3）裂项相消法（4）分组求和法.三、判断一个数列是等差或等比数列，只可以依据等差（比）数列的定义进行证明.以上几点是解决好数列问题的重中之重.
（作者：顾永建，江苏省石庄高级中学）
题型一、有关数列的基本问题
这类题围绕等差、等比数列的基本知识、基本公式、基本性质命题，难度不大，同学们应注意基本方法的训练，灵活运用相关性质，提高解题速度和准确性.
例1（11年重庆理11）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=_____________.
【解析】 本题考查了等差数列的基本性质之一：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.当然，本题也可以通过基本量法求解.
例2（11年四川理8改）数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1—an（n∈N*）.若b3=—2，b10=12，则a8=____________.
【解析】 本题考查了等差数列的通项公式与累加法求和.累加法和累积法是数列常用求通项公式的方法.由已知易得bn=2n—8∴an+1—an=2n—8，由叠加法得
（a2—a1）+（a3—a2）+…+（a8—a7）=—6+（—4）+（—2）+0+2+4+6=0a8=a1=3
题型二、数列中的推理问题
数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用立体几何题来考查逻辑推理能力，近几年在数列题中也加强了推理能力的考查.
例3（08年江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
23
456
78910
1112131415
………………
按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为____________.
【解析】 本题考查了归纳推理，等差数列的前n项和.
前n—1 行共有正整数1+2+…+（n—1）个，即n2—n2个，
∴第n行第3个数是全体正整数中第n2—n2+3个，即为n2—n+62.
题型三、数列与导数
例4（2006年江苏）对正整数n，设曲线y=xn（1—x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{ann+1}的前n项和的公式是____________.
【解析】 本题考查了应用导数求曲线切线的斜率、数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式.∵y=xn（1—x），∴y′=nxn—1—（n+1）xn.
∴曲线y=xn（1—x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n—1—（n+1）2n，切点为（2，—2n）.
∴所以切线方程为y+2n=[n2n—1—（n+1）2n]（x—2）.把x=0，y=an代入，得an=（n+1）2n.∴ann+1=2n.∴数列{ann+1}的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1—2.
题型四、数列与解析几何
例5（2010安徽文21）设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=33x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列.
（Ⅰ）证明：{rn}为等比数列；
（Ⅱ）设r1=1，求数列{nrn}的前n项和.
【解析】 本题考查了等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项an与an+1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用错位相减法解决.
解：（Ⅰ）将直线y=33x的倾斜角记为θ，则有tanθ=33，sinθ=12
记Cn的圆心为（λn，0），则由题意知rnλn=12，得λn=2rn；同理λn+1=2rn+1，从而
λn+1=λn+rn+rn+1，将λn=2rn代入，解得rn+1=3rn，故{rn}是公比q=3的等比数列.
（Ⅱ）由于rn=1，q=3，故rn=3n—1，从而nrn=n（13）n—1，记Sn=1r1+2r2+…+nrn，
则有Sn=1+2·13+3·（13）2+…+n·（13）n—1，①
Sn3=1·13+2·（13）2+…+（n—1）·（13）n—1+n·（13）n，②
①—②得2Sn3=1+13+（13）2+…+（13）n—1—n·（13）n=1—（13）n23—n·（13）n
=32—（n+32）·（13）n
Sn=9—（2n+3）（13）n—14
题型五、数列与不等式
数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的证明题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点.
例6（08湖北）已知数列{an}和{bn}满足：
a1=λ，an+1=23an+n—4，bn=（—1）n（an—3n+21），其中λ为实数，n为正整数. （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，即
（23λ—3）2=λ（49λ—4）49λ2—4λ+9=49λ2—4λ9=0，矛盾.
所以{an}不是等比数列.
（Ⅱ）解：因为bn+1=（—1）n+1[an+1—3（n+1）+21]=（—1）n+1（23an—2n+14）
=—23（—1）n（an—3n+21）=—23bn
又b1=—（λ+18），所以当λ=—18时，bn=0（n∈N*），此时{bn}不是等比数列；
当λ≠—18时，b1=—（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，∴bn+1bn=—23（n∈N*）
故当λ≠—18时，数列{bn}是以—（λ+18）为首项，—23为公比的等比数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=—18时，bn=0，Sn=0，不满足题目要求.
∴λ≠—18，故知bn=—（λ+18）（—23）n—1，于是可得Sn=—35（λ+18）[1—（—23）n]
要使a
∴a1—（—23）n<—35（λ+18）
∴f（n）的最大值为f（1）=53，f（n）的最小值为f（2）=59，
于是，由①式得95a<—35（λ+18）<35b—b—18<λ<—3a—18
∴当a
数列应用题主要注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识加以解决.
例7（12湖南文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
【解析】 本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和利用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出an+1与an的关系式an+1=32an—d，第二问，只要把第一问中的an+1=32an—d迭代，即可解决.也可通过构造等比数列求解.
解：（Ⅰ）由题意得a1=2000（1+50%）—d=3000—d，a2=a1（1+50%）—d=32a1—d，
an+1=an（1+50%）—d=32an—d.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=32an—1—d=（32）2an—2—32d—d=32（32an—2—d）—d=…=（32）n—1a1—d[1+32+（32）2+…+（32）n—2].
整理得an=（32）n—1（3000—d）—2d[（32）n—1—1]=（32）n—1（3000—3d）+2d.
由题意，am=4000，∴（32）m—1（3000—3d）+2d=4000，
解得d=[（32）m—2]×1000（32）m—1=1000（3m—2m+1）3m—2m.
故该企业每年上缴资金d的值为1000（3m—2m+1）3m—2m，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000元.
总结：数列的考查方法变化多端，但不管数列与哪一部分知识内容交汇，数列自身的内容仍是大家需要重点掌握的.对数列自身来讲，主要有以下题型：一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）观察法；（2）利用an与Sn的关系an=Sn—Sn—1（n≥2），注意验证首项；（3）利用递推关系包括累加法、累乘法、构造数列等.二、求数列的前n项和，主要方法有：（1）倒序相加法（2）错位相减法（3）裂项相消法（4）分组求和法.三、判断一个数列是等差或等比数列，只可以依据等差（比）数列的定义进行证明.以上几点是解决好数列问题的重中之重.
（作者：顾永建，江苏省石庄高级中学）