【摘要】介绍两种求贝努利微分方程的方法，并借助实例说明其应用.
　　【关键词】贝努利微分方程; 待定函数法;微分法
　　一般地将形如
　　dydx P（x）y=Q（X）yn （n=0，1）（1）
　　的微分方程叫作贝努利（Bernoulli）微分方程.因贝努利微分方程在科学计算方面有着非常广泛的应用.因此，对求解贝努利微分方程的通解的研究有着十分重要的意义，一般教材上常用的解法是通过变量代换y1-n=z将贝努利微分方程化为一阶线性非齐次微分方程，从而求出贝努利微分方程的通解.本文以
　　dydx-yx=（1 lnx）y3（2）
　　为例介绍两种解贝努利微分方程的方法.
　　方法1：待定函数法
　　设y=u（x）v（x）是（1）的通解.
　　于是 u′v v′ p（x）vu=Q（x）unvn.（3）
　　令v′ p（x）v=0，
　　则有v=e-∫p（x）dx，
　　u′=Q（x）une（1-n）∫p（x）dx.（4）
　　将（4）分离变量并积分得
　　u1-n=（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx C
　　因此方程（1）的通解为
　　y1-n=u1-nv1-n
　　=[（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx C]e（n-1）∫p（x）dx
　　即y=e-∫p（x）dx[（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx C]11-n
　　其中C为任意常数.
　　对于（2）：
　　解 这是 n=3 的贝努利微分方程.
　　设y=uv.
　　于是u′v （v′-1xv）u=（1 lnx）u3v3
　　令v′-1xv=0，
　　则有v=x，
　　u′=（1 lnx）x2u3.
　　将上式分离变量，并积分得
　　u-2=-49x3-23x3lnx C.
　　因此所求（2）式的通解为
　　x2y2=-49x3-23x3lnx C，
　　其中C为任意常数.
　　方法2：微分法
　　在方程（1）的两边同乘以积分因子e∫p（x）dx得
　　e∫p（x）dxy′ e∫p（x）dxp（x）y=Q（x）e∫p（x）dxyn
　　即ddxye∫p（x）dx=Q（x）e（1-n）∫p（x）dxye∫p（x）dxn.
　　從而 dye∫p（x）dx1-n=（1-n）Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx.
　　对上式两边积分得
　　ye∫p（x）dx1-n=（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx C.
　　因此方程（1）的通解为
　　y=e-∫p（x）dx（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx C11-n，
　　其中C为任意常数.
　　对于（2）：
　　解 将方程（2）的两边同乘积分因子
　　e-∫1xdx=1x，
　　并进行整理得
　　1xy′-1x2y=1 lnxxy3，
　　即dyxyx3=x2（1 lnx）dx.
　　两边积分可得
　　-12yx-2=29x3 13x3lnx-C2.
　　因此方程（2）的通解为
　　x2y2=-49x3-23x3lnx C，
　　其中C为任意常数.
　　本文介绍了两种解贝努利微分方程的方法，学生在解具体的贝努利微分方程时，要根据题目的特点灵活选择方法求解.