量子偶是一类非常重要的Hopf代数,这个概念是由Drinfeld在研究量子Yang-Baxter方程时提出的,随后便引起了代数研究者们的关注,极大地推动了 Hopf代数及其表示理论的发展.作为量子偶的一个特例,有限维群代数的量子偶结构相对而言比较简单而且应用也很广泛,从而受到了许多学者的青睐.本文主要研究Hopf代数kA4及其Drinfeld偶D(kA4)的表示及其表示环.由于群A4的阶为12,所以每一部分我们都分为三种情形来讨论,即域k的特征不整除12、域kk的特征为2和域k的特征为3.本文分为三个部分,在第一章中,我们对本文所需要的一些基本知识,基本结论做了简单的介绍,主要介绍了代数,余代数,Hopf代数,拟三角Hopf代数,有限维Hopf代数H的Drinfeld偶D(H)的概念及结构,D(H)的左H-模范畴D(H)M与Yetter-Drinfeld H-模范畴HyDH的关系,有限维Hopf代数的Grothendieck环和表示环等概念.在第二章中,我们首先介绍了群A4的具体结构,由此研究了域k的特征在三种情形下群A4共轭类代表元中心化子子群的表示,从而构造出Drinfeld偶D(kA4)的表示.因此,这一章的主要工作就是计算出交错群A4,Klein四元群K以及三阶循环群Z3的在三种情形下的表示.在同构意义下,我们给出了在域k的特征不整除12和域k的特征为2时所有互不相同的单kA4-模,当域k的特征为3时所有互不相同的单kA4-模和不可分解kA4-模,并给出了所有单的kA4-模及不可分解kA4-模的模结构.在此基础上我们导出了相应的单D(kA4)-模及不可分解D(kA4)-模的同构分类.第三章是本文的主要部分,我们在上一章的基础上给出了三种情形下群代数kA4及其Drinfeld偶D(kA4)的表示环结构.在域k的特征不整除12时,kA4和D(kA4)都是半单Hopf代数,此时它们的表示环与Grothendieck环相同,我们利用生成元及其满足的关系分别描述了kA4和D(kA4)的表示环的结构.当域k的特征为2时,我们仅考虑了kA4和D(kA4)的Grothendieck环,用多项式环的商环刻画了这两个Grothendieck环.当域k的特征为3时,我们首先研究了kA4和D(kA4)的表示环,给出了它们的生成元及其所满足的关系式,然后利用Grothendieck环是表示环的商环这一一般性结论,通过kA4和D(fkA4)的表示环分别刻画了kA4和D(kA4)的Grothendieck环的结构.