本文将研究数论中如下四个方面的解析问题.1)有限域上一元多项式环中的Ramanujan展开Ramanujan和由印度著名数学家Ramanujan所定义.从1976年到2017年,De-lange,Ushiroya和Toth逐渐证明了定义在整数环上的多变量算术函数都可以通过Ramanujan和加以展开,这类似于经典数学分析中周期函数的Fourier展开.本文第一部分是在前人的基础上进一步研究了有限域上一元多项式环IFq[T]中Ramanujan和的性质,并证明了定义在Fq[T]上的多变量算术函数都可以通过多项式Ramanujan和以及酉多项式Ramanujan和加以展开.2)多项式Ramanujan和的乘积和本文第二部分通过进一步研究多项式Ramanujan和的正交性质,建立了多项式Ramanuj an和的乘积和与环Fq[T]上的多项式同余方程组解数之间的恒等式.3)Mertens定理的k重推广1874年,德国数论学家Mertens得到了关于素数倒数和的两个渐进公式,分别称为Mertens第一定理和Mertens第二定理.这两个定理多次出现在现代本科生和研究生的数论教科书中,是素数分布定理的初等证明等不少数论问题研究的主要依据.在本文第三部分,我们将Mertens的这两个定理推广到了k重情形,其中k为任意正整数.注意到我们关于Mertens第二定理的多重形式的主部通过Riemann zeta函数的特殊值加以表达.4)有限域上一元多项式环中的Menon-Sury恒等式2009年,Sury得到下面经典的Menon-Sury恒等式(?)gcd(a-1,b1,b2,…,br,n)=φ(n)σr(n),其中n是一个正整数,Zn*是环Zn=Z/nZ的单位群,gcd(,)表示最大公因子,φ是Eulerφ-函数,σr(n)=∑d|n dr.本文第四部分,对定义在有限域上一元多项式环IFq[T]上的一般算术函数,证明了带有多个Dirichlet特征和多个加法特征的Menon-Sury型恒等式,从而得到了Fq[T]上一般算术函数在Fq[T]的剩余类环的乘法群上的Fourier变换的明确表达式.