无网格法是近年来迅速兴起的一种数值分析方法。它克服了有限元和边界元等数值方法有网格的缺陷,采用完全基于点的近似,彻底或部分地消除网格,完全避免了网格的再生成,比传统的有限元法更加灵活和有效,因此成为求解偏微分方程的一种重要且具有广阔发展和应用前景的方法。带有多项式基的径向点插值法是一种新型无网格方法,它将多项式基函数和径向基函数相耦合构造形函数,从能量泛函的弱变分形式中得到控制方程,从而得到偏微分方程的数值解。由于其形函数具有delta函数性质,使得位移边界条件的施加变得容易,从而克服了以往无网格法难以实现位移边界条件的难点,同时也有效地解决了点插值法中矩阵的奇异性问题。该法只需在求解域内布置一系列节点,不需将节点连成单元。此外,还有精度高、耗时少、前后处理方便等优点。本论文主要分为两大部分:第一部分为基本理论部分。首先系统介绍了目前存在的无网格法及无网格法的一般理论;其次对点插值方法的理论进行了研究;最后重点研究了带有多项式基的径向点插值方法的基本原理,并将其应用到二维平面弹性力学中,建立了其离散方程,给出了具体的实现过程。第二部分为数值算例求解和分析部分。首先,对影响无网格法求解精度的关键因素──节点分布方式进行了讨论,首次提出了规则节点和随机节点相结合的节点分布方法;其次利用所提节点分布方法对几个算例进行了具体分析,所有算例结果与ANSYS解及解析解进行了对比分析,计算结果吻合良好,验证了本文理论的可靠性;最后,首次将带有多项式基的径向点插值法推广应用于轴对称问题中。