【摘 要】
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在组合最优化中,装填与覆盖占据一个非常重要的位置.给定一个图,一组边不交的集合称为匹配,一组与图中所有边都关联的顶点的集合称为顶点覆盖.通过这两个概念,两个重要的最优化问题—最大匹配问题(P类问题)和最小顶点覆盖问题(NP-难问题)—对组合最优化的发展起到了巨大的推动作用.经典的K¨onig定理断言,在二部图中,匹配中边的最大数目等于顶点覆盖中顶点的最小数目.本文考虑K¨onig定理的推广形式,探
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在组合最优化中,装填与覆盖占据一个非常重要的位置.给定一个图,一组边不交的集合称为匹配,一组与图中所有边都关联的顶点的集合称为顶点覆盖.通过这两个概念,两个重要的最优化问题—最大匹配问题(P类问题)和最小顶点覆盖问题(NP-难问题)—对组合最优化的发展起到了巨大的推动作用.经典的K¨onig定理断言,在二部图中,匹配中边的最大数目等于顶点覆盖中顶点的最小数目.本文考虑K¨onig定理的推广形式,探求边装填和带权重的顶点覆盖的关系及在特殊图论结构中的多项式时间算法设计和复杂性分析,刻画使得最大最小关系成立的图论结构.带权重的顶点覆盖问题是经典的NP-难问题,本文通过引入边覆盖的概念,对带权重的顶点覆盖问题提供下界.推广了K¨onig定理,得到了在二部图中,对任意的正整数权重函数,最大边装填中边的数目等于最小顶点覆盖中顶点权重之和.并据此设计了多项式时间算法精确求解了二部图上的最大边装填问题和最小带权重顶点覆盖问题.最后,本文刻画了对任意正整数函数,上述两个最优化问题的最优值刚好取等号的图论结构.本文的结论为一般的装填与覆盖问题提供了新思路,有助于类似问题的算法设计,结构刻画和最大最小关系证明.
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