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本文分三部分对线性和非线性最优控制理论作了介绍，重点讨论了一种推广的LQ问题和Dubins问题的求解.
第一部分是对最优控制理论的简要回顾，给出了欧氏空间和一般流形上的最优控制问题的表述，然后讨论了最优控制的存在性及求解问题，把庞特里亚金最大值原理推广到流形上，最后介绍了动态规划的方法.
第二部分是关于线性最优控制理论的，首先列出了线性控制系统的一般理论，包括能控性、求解公式等；然后介绍了Hilbert空间的一些理论，作为后面讨论推广形式LQ问题的基础；最后总结了经典的LQ问题的求解方法，引出了一种推广形式的LQ问题并且作出了进一步的发展.
第三部分重点介绍了非线性最优控制理论，首先灵活应用庞特里亚金最大值原理解决了Dubins汽车问题；然后介绍了控制论中的Noether定理，基于自身的刚体对称性完全解决了3维情形的Dubins问题；最后给出了预辛约化的一般理论，利用它约化了3维情形的Dubins问题.
本文给出了现代微分几何观点下最优控制理论的叙述，介绍了几何控制论的一些重要结果和方法，并且应用它们介绍了推广的LQ问题和Dubins问题的求解，展示了几何控制论的特色和优越性.