协方差矩阵的研究在近半个世纪中备受人们的关注,它被广泛应用到各个学科中,例如,航天物理(PopeandSzapudi[1],HamimecheandLewis[2]),经济学(LedoitandWolf[3]),环境科学(FreiandKunsch[4],Eguchietal.[5]),气候学(Guillotetal.[6]),和基因学(SchaferandStrimmer[7])等方面。但如何找到一个无约束且具有解释性的协方差矩阵估计在统计研究中仍然是一个公开问题Pourahmadi[8],特别是在高维数据中。因此,协方差矩阵的估计问题成了一个极有意义和挑战性的研究方向。在实际应用当中,我们经常遇到样本观察值个数少于协方差矩阵维数的情况,这时,一些传统的经典方法无法得到理想的结果。本文,我们采用贝叶斯的方法来对协方差矩阵进行研究分析。我们考虑了三个不同的模型,分别是多元正态模型,分层正态模型,以及单因素多元协方差分析模型,并提出了不同的协方差矩阵先验,同时研究了贝叶斯估计和统计推断问题。针对我们提出的先验,我们还给出了全新且高效的协方差矩阵后验分布的抽样方法,该方法大大提高了协方差矩阵抽样的效率。本文主要的工作列出如下:(1)我们用贝叶斯方法研究多元正态模型下的协方差矩阵估计问题。提出了一类新的协方差矩阵先验,其中inverseWishart和reference先验(YangandBerger[9])都是它的特例。常见的协方差矩阵先验,例如,inverseWishart先验和Jeffreys先验往往无法充分收缩协方差矩阵的特征值,我们提出的先验可以很好地解决这一问题。此外,我们得到该先验的一些令人满意的结果,例如,无论矩阵维数多大,我们的先验只需要一个样本观察值就可以使其后验分布存在。这样一来,即使在样本量很少的情况,对协方差矩阵作有效的推断也成为了可能。同时,针对这一类的先验,我们还提出了高效的协方差矩阵后验分布的抽样方法。(2)我们研究了分层正态模型下的超参数先验的选取问题。在贝叶斯分析中,分层模型占了很大一部分。但是,超先验的选取和使用往往具有不确定性。经典的客观贝叶斯方法,例如,Jefferys先验和reference先验方法,只能应用在简单的分层模型下。另外,如果用非正规的贝叶斯方法,例如,将非分层先验应用到分层模型下,经常会导致一些极坏的结果。一个典型的例子是,非分层的Jefferys先验的协方差矩阵先验会导致后验分布不适当,特别是在层数高的情形下。Bergeretal.[10]从容许性(admissibility)角度来研究分层正态模型下的超参数先验的选取问题。尽管他们研究了很多超先验的适当性(propriety)和容许性,但是并没有给出一个全局的结论。我们基于容许性、可实施性(implement)和模拟结果的考虑,提出了一组特殊的分层正态模型下的客观超先验,从而彻底解决这一问题。(3)我们用贝叶斯方法研究了单因素多元协方差分析模型(Multivariateone-wayANOVA)的参数估计问题。众所周知,单因素多元协方差分析模型在当前的统计理论和应用中具有十分重要的意义。它被广泛应用到数据融合当中,可以研究不同数据源的相关性。该模型有三个未知参数:一个总体均值向量和两个协方差矩阵。我们从贝叶斯角度,研究了各种主观和客观先验。特别地,对于两个协方差矩阵,我们提出了一类新的先验——可交换先验。提出这类先验,我们基于三方面考虑:第一,该先验可以很好地应用到“信号噪音比”矩阵中。第二,可交换结构可以被视为一个很好的降维方法。第三,该先验在计算上有很好的优势。值得指出的是,该先验是一类共轭先验。我们研究了该先验及其后验的适当性和矩的存在性。对于这类先验,我们还提出了高效的MCMC抽样方法。另外,模拟和实际数据都体现出该先验的优越性。