在数值分析、应用数学和工程学中，人们经常遇到涉及序列和级数的问题.这些序列和级数通常由迭代法、摄动法、差分法等产生。而实际中有时候他们的收敛速度很慢而导致不能被有效地应用.因此，长期以来，收敛性加速算法一直被研究并应用于各种问题中.通常收敛性加速算法是计算序列变换的递推算法，而序列变换由外推法得到.最近的研究发现，收敛性加速算法和可积系统之间有着密切的联系.本文中，我们研究了一些重要的序列变换的推广和构造了一些新的收敛性加速算法.特别地，我们运用Hirota双线性方法，利用行列式技巧研究一些离散可积系统的分子解，从而研究与可积系统密切相关的收敛性加速算法.本文主要内容如下：　　 E-变换是目前所知道的最广泛的序列变换。该变换几乎包含所有已有的序列变换作为它的特殊情形.E-变换可以用E-算法、Ford-Sidi算法和hungry type E-算法计算.第二章，我们提出了一种推广的E-变换，并研究了计算E-变换的三种算法的推广，其中推广的hungry type E-算法和一种推广的离散hungry Lotka-Volterra方程有联系.此外，我们讨论了推广的E-变换的几种特殊情形及一些数值应用。　　 G-变换是E-变换的一种特殊情形，由G-算法递推计算，rs-算法是G-算法的辅助算法，它和ε-算法和qd-算法有联系，而ε-算法和qd-算法都是和可积系统相关的.第三章，我们利用推广的ε-算法行列式表示中引入的算子构造了一种推广的G-变换，并研究相应的rs-算法、G-算法和qd-算法的推广，这个推广的G-算法可以用来加速一些无穷积分的值。　　 ε-算法和它的confluent形式分别可以用来加速一些序列和函数的极限.第四章，我们构造了q-差分的ε-算法，给出了该算法的行列式表示，这个算法可以看做是q-差分的modified Toda分子方程，我们用实例说明这个算法可以用来加速一些函数的极限limt→∞f(t)。　　 离散的Gelfand-Dikii方程族的第一个方程是全离散的势KdV方程，可以用来设计ε-算法.本文第五章，我们首次运用一个新的离散可积系统即离散的Boussi-nesq方程来设计一个新的收敛性加速算法.该方程是离散的Gelfand-Dikii方程族的第二个方程，我们运用双线性方法，得到与之相关的一个方程的分子解，从而得到一个新的对线性收敛序列有效的收敛性加速算法.进一步，我们提出了多步的ε-算法，这个算法包含ε-算法和我们由离散的Boussinesq方程得到的新的收敛性加速算法.并且，这个算法和一种推广的离散Lotka-Volterra方程有联系。　　 ε-算法和ρ-算法是收敛性加速算法中分别对线性收敛和一些对数收敛序列有效的典型例子.基于这两个算法的递推方程，本文第六章，我们提出了一个新的收敛性加速算法，该算法的递推式包含ε-算法、ρ-算法及它的一种推广的递推方程.我们用数值实例说明，当一些初始值特殊地分别选取为Brezinski的Θ-算法、Levin的v-变换第一步计算结果时，算法对线性和对数收敛的序列都是有效的。