论文部分内容阅读
本文研究如下的Cauchy问题:其中x∈R,t∈R+,β>0为常数,u(x,t)为未知函数,P,Φ,Ψ为给定的非线性函数,u0(x)和u1(x)为给定的初值函数,下标x和t分别表示对x和t求偏导数.这里我们不妨假定P’(0)=0,Ψ(0)=0. 全文分四章:第一章为引言;第二章主要利用压缩映射原理研究Cauchy问题(1)(2)的局部解的存在唯一性;第三章用能量的方法并通过先验估计讨论Cauchy问题(1)(2)的整体解的存在唯一性;第四章利用凸性方法讨论Cauchy问题(1)(2)的整体解的不存在性.具体情况如下:在第二章中我们主要应用压缩映射原理证明Cauchy问题(1)(2)的局部解的存在唯一性.主要结果如下: 定理1假定u0∈H1∩W1,∞,u1∈H1∩W1,∞,|Φ(u)-Φ(v)|≤max{C2,C3|u-v|(1+|u|m1+|v|m1)},Φ(0)=0,|P(u)-P(v)|≤C4|uv|(1+|u|m2+|v|m2),|Ψ(u)-Ψ(v)|≤C5|u-v|(1+|u|m3+|v|m3),Ψ’(0)=0,(3)其中Ci,mj≥0(i=2,3,4,5;j=1,2,3),则问题(1)(2)有唯一局部解其中[0,T0)是解存在的最大时间区间,T0依赖于||u0||H1+||u0x||∞+||u1||H1+||u1x||∞,而且如果则T0=∞.注1:如果Ψ=Φ,只须去掉(3),定理1仍然成立. 定理2假定定理1的条件成立,则问题(1)(2)有唯一局部解其中[0,T0)是解存在的最大时间区间,T0依赖于||u0||H1+||u0x||∞+||u1||H1+||u1x||∞,而且如果(4)成立,则T0=∞.在第三章中,我们主要利用能量法并通过先验估计证明Cauchy问题(1)(2)的整体解的存在唯一性. 主要结果如下:定理3假定定理1的条件成立,其中C9是一个常数,且则问题(1)(2)有唯一整体解注2:如果Ψ=Φ,只须将(5)改为C9≥0,定理3仍然成立. 定理4假定定理1的条件成立,如果σ>0,使得则问题(1)(2)有唯一整体解u∈C2([0,∞);H1∩W1,∞.在第四章中,我们利用凸性方法得到Cauchy问题(1)(2)的整体解的不存在性. 主要结果如下:定理5假定定理1的条件成立,且存在常数α>0使得则问题(1)(2)的解在有限时刻发生爆破,若下列条件之一成立:(1)E(0)<0;(2)E(0)≥0,(u1+u0)+β(u1x,u1)注3:如果Ψ=Φ,只须去掉(6),定理5仍然成立.