维诺格拉多夫二次型定义为如下的一组方程{x21+x22+x23=y21+y22+y23,(0.1)x1+x2+x3=y1+y2+y3.更一般的情形为如下的方程组{x1,1+x2,1+x3,1=x1,i+x2,i+x3,i(2≤i≤k),(0.2)x21,1+x22,1+x23,1=x21,i+x22,i+x23,i(2≤i≤k).其中(0.1)为(0.2)当k=2时的特殊情形，(0.1)作为最初的形式引入被许多的研究者深入的研究过，也有这方面工作的推广，得到许多有价值的结果(见文[1]，[2],[3]).　　许多的作者考虑了这一问题的不同的变换形式和相关的问题.最古典的问题如考虑如下的方程:xk1+xk2=xk3+xk4(0.3)其中k≥2且k为一自然数，求(x1,x2,x3,x4)在满足|xi|≤N(i=1,2,3,4)整数解的个数.　　当k取不同的值时，方程(0.3)整数解的分布情况会有截然相反的变化。当k≥3时，Hooley(见文[4]，[5]，[6])证明了大概有4N2的整数解在对角线上，即满足x1=x3,x2=x4或者x1=x4,x2=x3的整数解的个数，而不在对角线上整数解的个数的阶要低一些.而当k=2情形下，方程(0.3)在矩形中大概有N2 logN整数解，而此时方程在对角线上解的个数为N2,这表明在这种情况下对角线上整数解的个数不占主导地位.　　类似的，我们考虑(0.2)在满足|xl，i|≤N时整数解的个数.令(V)k(N)表示为满足这个条件的整数解的个数.那么，根据(0.4)，可以得到Vk(N/√3)≤(V)k(N)≤Vk(N)那么根据定理(1.1)我们有如下的估计(V)k(N)(≈)N3(log N)2k-1-1.运用初等的方法我们在想法上也能得到(V)k(N)的渐进公式，但可能得到的结果跟分析上的方法相比较要弱一些.实际上，当k=2时，我们运用Dirichlet的双曲方法我们能得到如下的结果:(V)2(N)=(12/π)N3 logN+(c)N3+ O(N5/2 log N)其中(c)为一常数.将以上的结果与(0.6)相比较，可以验证刚才的结论.　　本文中我们考虑方程组(0.2)在满足一定条件下整数解的个数的分布情况.记Vk(N)为满足在一个圆球内的整数解的个数x21,i+x22,i+x23,i≤3N2,1≤i≤k(0.4)　　我们主要通过对Riemann-zeta函数在水平线上1/2≥σ≥1更精确的估计以及利用Riemann-zeta函数的均值估计改进了Valentin Blomer和J(o)rgBrüdern最新的研究结果(参见[7])，并假定若满足Lindel(o)f猜想我们能得到更好的结果.文章分为四个部分.第一部分系统的介绍了本课题的研究背景，给出了本文的主要结果:　　定理1.1令k≥2是一个任意固定的自然数.当k=2,3时，对任意δ满足0＜δ＜21/13·2k-1实数，我们有Vk(N)=N3Pk(log N)+O(N3-δ)(0.5)其中Pk是次数为2k-1-1多项式.　　定理1.2令k≥2是一个任意固定的自然数.当k≥4时，对任意δ满足0＜δ＜63/13·2k-1实数，我们有Vk(N)=N3Pk(log N)+O(N3-δ)(0.6)其中Pk是次数为2k-1-1多项式.特别地，当k=2时，我们有P2(x)=48(x+c)，其中c=γ+1/2log2+log3-4/3+L(1,x)/L(1,x)-ζ(2)/ζ(2)其中x表示模3的非主特征，我们还得到如下更好的结果:V2(N)=N3P2(logN)+O(N2 log N).(0.7)　　定理1.3令k≥3是一固定的任意自然数.如果假定Lindel(o)f猜想对于ζ(s)和L(s，x)是正确的，那么，对于任意满足0＜δ＜1实数，我们有如下的公式:Vk(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ).　　第二部分介绍了需要证明定理的所需的预备知识，主要介绍Riemann-Zeta函数的高次均值估计，运用截断的Mellin积分变换，然后运用柯西留数定理进行积分估计.根据k不同的取值范围，分别通过Riemann-zeta函数在水平线上的估计或者运用ζ(σ+it)均值估计得到积分的估计，选取恰当的参数，进而得到更好的结果.　　第三部分根据Valentin Blomer和J(o)rg Brüidern的想法(见文[7])，我们把计算满足方程组(0.2)的圆内整点个数与二元二次型联系起来，通过一些简单的代数数论方面的知识，将主要定理转化为引理的表达形式.　　第四部分是定理的证明.主要是根据约化后的形式的定理，主要运用了J.Bourgain在ζ(1+it)最新的估计，Phragmén-Lindel(o)f凸性原理以及ζ(σ+it)的均值估计，从而得到本文的主要定理.