论文部分内容阅读
Pardoux和Peng[65]于1990年首次引入了非线性倒向随机微分方程(BSDEs):其中生成元f关于(y,z)是Lipschitz连续的且终端变量ζ是平方可积的.基于这一开创性的工作,有大量的工作致力于研究弱化生成元f的Lipschitz条件和终端变量的可积性条件(参见[1,4,5,10,16,20,21,26,42,46,49,63]).2009 年,Buckdahn,Djehiche,Li和Peng[6]应用纯随机的方法研究一平均场问题时得到一种新型的BSDEs:平均场BSDEs.随后,Buckdahn,Li和Peng[7]深入研究了 Lipschitz条件下的平均场BSDEs.倒向随机微分方程和平均场倒向随机微分方程理论已经取得了飞速的发展,而且广泛的应用于各个领域,譬如偏微分方程,随机控制与微分博弈,数值分析,数理金融等(参见[8,15,17,24,27,28,29,30,45,52,64,66,67,68]).Peng[69]根据BSDE的解定义了一个非线性期望:g-期望,研究表明g-期望理论是研究概率不确定性模型的一个有力工具,此类模型中引发不确定性的概率测度族关于Wiener测度是绝对连续的.然而很多金融问题中的波动率不确定性模型包含互相奇异的概率测度族.受此启发,Peng[72]通过下述非线性热方程建立了 G-期望理论:其中G(·):Sd→R是单调次线性函数.目前G-期望理论已经被广泛的应用于波动率不确定情形的资产定价理论、随机最优控制、微分效用模型(参见[14,18,19,34,35,56]).进一步地,Peng[72]和Gao[22]研究了 Lipschitz条件下G-布朗运动驱动的随机微分方程(G-SDEs)解的存在唯一性.Lin和Bai[2]讨论了积分Lipschitz条件下的G-SDEs.与经典鞅表示定理不同的是,G-鞅表示定理需要引入一个额外的递减G-鞅项K,这就导致G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程(G-BSDEs)的解是一个过程三元组(Y,Z,K):Hu,Ji,Peng和Song[32,33]研究了 Lipschitz条件下G-BSDEs解的存在唯一性,比较定理和非线性Feynman-Kac公式.Hu,Lin和Soumana Hima[41]研究了生成元关于z满足二次增长条件下G-BSDEs解的存在惟一性.Wang和Zheng[78]研究了生成元关于y Lipschitz连续,关于z一致连续的G-BSDEs.关于G-SDEs和G-BSDEs理论的更多发展可参阅[36,37,38,51,53,55,57,58,61,62,78].本文系统地研究了非Lipschitz条件下G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程,Lips-chitz条件下G-布朗运动驱动的平均场正、倒向随机微分方程,非Lipschitz条件下G-布朗运动驱动的平均场倒向随机微分方程.现在我们来介绍本文的主要内容.论文的第一章回顾了 G-布朗运动,G-Ito积分的基本概念和性质,以及G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程.论文的第二章研究了生成元关于y满足非Lipschitz条件的G-BSDEs.我们通过对方程Y-项进行Picard迭代,结合Lipschitz条件下G-BSDEs解的先验估计和G-鞅最大值不等式构造出局部解,倒向迭代局部解就可得到全局解,并利用G-Ito公式来证明解的唯一性.另外我们还给出G-BSDEs解的先验估计和比较定理.最后我们利用解的先验估计得到G-BSDEs的生成元表示定理和逆比较定理.论文的第四章进一步研究了生成元关于(y,z)一致连续的G-BSDEs.首先我们构造了 Lipschitz条件下的两列近似G-BSDEs,利用G-BSDEs的线性化方法得到这两个近解序列的一致估计,从而得到方程解的存在惟一性.之后,我们通过一个极限论证的方法得到了 G-BSDEs的比较定理和生成元表示定理,并得到逆比较定理.最后,我们给出G-BSDEs与完全非线性抛物方程粘性解之间的关系.论文的第四章首次引入并讨论了平均场G-SDEs和平均场G-BSDEs.与G-BSDEs不同的是,由于平均场G-BSDEs中G-期望E的出现,我们需要把生成元限定在空间MGp(0,T)中研究.与经典BSDE不同的是,方程中G-鞅项的出现导致我们无法构造包含Z的压缩映射,不动点原理不能应用于求解平均场G-BSDEs.我们通过在小区间上对Y项进行压缩论证和倒向迭代的方法得到方程解的存在惟一性.之后,我们给出了平均场G-BSDEs的比较定理和逆比较定理,并对G-期望框架下平均场型完全非线性偏微分方程做出了概率解释.最后,我们讨论了 G-期望框架下的平均场型随机微分效用模型.论文的第五章在第二章,第三章和第四章内容的基础上,进一步讨论了非Lipschitz条件下的平均场G-BSDEs,得到了解的存在惟一性定理和比较定理.