【摘 要】
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本文主要研究在曲率维数条件下,几种典型抛物p-Laplace型方程在黎曼流形上的p-Rényi熵幂凹性问题及其在泛函不等式中的应用.具体如下:第一章,引言部分.我们首先介绍了本论文的研究现状和研究动机,其次提出了本文章主要的研究目的、给出了相关概念,最后列举了主要研究成果.第二章,是本文的主要部分.考虑抛物p-Laplace型方程(?)tu=Δpu=div(|▽u|p-2▽u).我们首先给出一些必
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本文主要研究在曲率维数条件下,几种典型抛物p-Laplace型方程在黎曼流形上的p-Rényi熵幂凹性问题及其在泛函不等式中的应用.具体如下:第一章,引言部分.我们首先介绍了本论文的研究现状和研究动机,其次提出了本文章主要的研究目的、给出了相关概念,最后列举了主要研究成果.第二章,是本文的主要部分.考虑抛物p-Laplace型方程(?)tu=Δpu=div(|▽u|p-2▽u).我们首先给出一些必要的引理,用Renyi熵增的方法结合这些引理,推导出该方程在非负Ricci曲率的紧致黎曼流形及欧式空间上的p-Rényi熵幂凹性,从而得到了一个新的Lp-Gagliardo-Nirenberg插值不等式及其改进版本[4,6,17].第三章,是对第二章的一个推广.考虑如下加权抛物p-Laplace型方程(?)tu=Ap,fu=divf(| Vu|p-2Vu).证明其在满足曲率维数条件CD(-K,m)的加权紧致黎曼流形上,p-Rényi熵幂仍具有凹性.最后一章,我们考虑广义抛物p-Laplace型方程(?)tu=ΔpF(u).研究它在满足曲率维数条件CD(K,n)的紧致黎曼流形上,p-Rényi熵和p-Rényi熵幂的变分公式,并且利用Otto无穷维黎曼几何的方法,证明了相关p-Fisher信息量的长时间渐近行为及广义Sobolev不等式.
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