微分形式作为函数的推广,具有坐标系统独立性的优势。它的产生与微分流形上的微积分理论以及流形上的很多问题密切相关,已经成为研究近代微分几何的重要工具。随着几何学的发展,微分形式在很多领域中都发挥着不可替代的作用,如物理学、热力学、电磁学、相对论等方面,这也使得微分形式理论的研究显得尤为重要。近年来,微分形式的算子理论以及方程理论的研究取得了极大的进展,吸引了国内外学者的广泛关注。本文针对微分形式上的算子展开讨论,包括同伦算子、投影算子、奇异积分算子及其交换子,主要研究算子的有界性、可积性以及建立不同范数下的相关不等式,并在此基础上进一步研究算子的高阶估计问题。特别地,针对微分形式的非齐次A-调和方程和齐次Dirac-调和方程,对其弱解和很弱解的高阶可积性问题进行相关研究。本文主要研究内容包括以下几个方面:首先,考虑微分形式上的两个重要算子同伦算子T和投影算子H的复合T?H,重点研究复合算子T?H的嵌入性质和高阶性质。一方面利用微分形式的分解性质和基本不等式,通过选取一类特殊的Young函数φ∈NG(p,q)-类,建立复合算子T?H的L~φ范数不等式。进而,当u满足非齐次A-调和方程时,结合非齐次A-调和方程解的基本不等式证明复合算子T?H的L~φ嵌入定理以及L~φ-Lipschitz和L~φ-BMO范数不等式。另一方面考虑复合算子T?H的L~p高阶估计问题,利用同伦算子T和投影算子H的性质建立复合算子T?H的L~p高阶Poincaré型不等式。其次,在微分形式空间中引入奇异积分算子,包括Calderón-Zymund奇异积分算子T_?和分数积分算子I_α,当b∈BMO(R~n)时,给出交换子[b,T_?]和[b,I_α]的定义并对其L~p有界性进行研究。分别建立这两种交换子的强类型不等式和交换子[b,T_?]在L~φ范数下的加权Caccioppoli型不等式。在有界性结果的基础上,本文进一步研究了交换子[b,T_?]在L~p范数下的高阶可积性问题。将微分形式的Poincaré-Sobolev不等式作为关键工具,分别在1<p<n和p≥n两种情况下建立交换子[b,T_?]在局部和全局的高阶可积性定理和高阶Poincaré型不等式,并给出相关应用。同时,对微分形式的高阶交换子进行了初步研究,给出了微分形式的高阶交换子的定义并证明了高阶交换子的L~p有界性。最后,研究了微分形式上调和方程解的高阶估计问题。对于非齐次A-调和方程,借助其解的基本不等式以及Young函数φ∈NG(p,q)-类的性质推导出非齐次A-调和方程解的L~φ高阶Poincaré不等式和Caccioppoli不等式。作为应用,给出了同伦算子T的L~φ高阶Caccioppoli型不等式以及一类弱类型不等式。此外,对于满足一定条件的齐次Dirac-调和方程,给出了该齐次Dirac-调和方程很弱解的概念,并研究了该方程很弱解的高阶可积性。借助Hodge分解定理和一定的处理技巧给出了齐次Dirac-调和方程很弱解的高阶可积性定理。