本文主要研究非线性椭圆型方程以及方程组的解及其相关性质。主要内容包括：第一章，主要阐述本文所讨论问题的背景及研究现状，并简要介绍本文的主要工作。第二章，研究下述带混合耦合系数的非线性偏微分方程组-△ui+λiui=μiu3i+N∑(l)=1,i≠jβiju2jui， i=1，…，N正解的存在性，其中λi，μi＞0，βij=βji(i，j=1，…，N，i≠j).这类方程组出现在Bose-Einstein凝聚理论中.对于纯吸引或者纯排斥的耦合系数（即βij符号相同的情况）已有许多研究.我们考虑非线性耦合项系数对解的结构的影响并且得到解的各分量同步和分离的现象。第三章，考虑线性耦合的Schr(o)dingcr方程组{-ε2△ui+ Pi(x)ui=u3i+N∑j≠iλijuj, x∈R3,ui∈H1（R3），i=1，…，N，其中ε＞0是参数且充分小，P(l)(x）(i=1，…，N）为正的位势函数，λij=λ(j)i＞0（j≠i）为耦合系数.我们研究位势函数以及线性耦合系数对解的构造的影响.当λij＞0时，我们证明了对任意的正整数k∈Z，系统有正的k-峰向量解，并且当ε→0+时，解的分支都集中在位势函数Pi(x）的局部极大值点xi0的附近.当xi0=xj0并且Pi(xi0)=Pj(xj0)=a时，我们构造了该系统具有k个尖峰的向量解，这些解相互靠近并且聚集在xi0=xj0附近.相对地，假设xi0≠xj0，我们证明了当ε充分小的时候，k-峰向量解（u1，…，uN）的存在性，并且ui的波峰集中在xi0附近，uj的波峰集中在xj0附近。第四章，考虑非线性分数阶Schr(o)dinger方程ε2s（-△）su+V(x）u=up，u＞0， x∈RN，其中ε＞0充分小，V(x）是正的位势函数，0＜s＜1，1＜p＜N+2s/N-2s.对于任意的正整数k∈Z+，我们在位势函数V(x)的局部极大值点附近构造k波峰的解。第五章，探讨了带Sobolev临界指标的椭圆型方程组{-△u=λ1u+μ1|u|2*-2u+β|u|2*/2-2u|v|2*/2，x∈Ω，-△u=λ2v+μ2|v|2*-2v+β|v|2*/2-2v|u|2*/2， x∈Ω，u=v=0， x∈(e)Ω，其中Ω是RN上的有界光滑区域，N=5，2*=2N/N-2是Sobolev临界指标，μ1，μ2＞0，β∈（-√μ1μ2，0），0＜λ1，λ2＜λ1(Ω)，这里λ1(Ω)是-△在H10(Ω)上的第一特征值.在参考文献[32]中，Chen，Lin和Zou研究了当β＜0，N≥6，λ1，λ2∈（0，λ1(Ω））时，方程组的变号解.在这里，我们考虑了当N=5时，λ1，λ2小于并且充分靠近λ1(Ω)时，上述方程组有变号解，其中解的第一个分量变号一次，第二个分量解是恒正的，或者第二个分量解变号一次，第一个解分量是恒正的。