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我们知道在有限群中类方程对有限群的结构有很大的影响．如果先把互不共轭的同阶元的共轭类长合并得到同阶类长，再把同阶类长相加就得到了阶方程．我们用阶方程对某些K3-单群给出了一个新刻画，得出如下结果：
定理2．1设G是一群，G≌M当且仅当G的阶方程与M的阶方程相同，其中M≌A5(22·3·5)，A6(23·32·5)，L2(7)(23·3·7)L2(8)(23·32·7)，L2(17)(24·32·17)，L3(3)(24·33·13)或U3(3)(25·33·7)．
一般来讲，群和图有着非常密切的联系．许多时候，图的性质可以给出群的某些性质，反过来也是如此．本文第三章我们利用非交换图研究了交错群A10和李型单群工L2(q)，得出如下结论；
定理3．1假设G是一个有限群，△(G)≌△(M)当且仅当G≌M，其中M=A10．
定理3．2假设G是一个有限群，△(G)≌△(M)当且仅当G≌M，其中M=L2(q)．
1987年，剑桥大学J．G．Thompson教授在他给施武杰教授的一封信中提出了如下猜想；
Thompson猜想设G是有限群，M是有限非交换单群，Z(G)=1，满足N(G)=N(M)，则G≌M，其中N(G)表示G中共轭类长的集合．
该猜想公开后近20年的时间里，没有人能完整地证明它，甚至给出—个反例．可见Thompson猜想的解决还是有一定难度的．本文第四章证明了Thompson猜想对U4(2)成立，结果如下：
定理4．1 假设G，M为有限群， Z(G)=1．若N(G)=N(M)，则G≌M，其中M=U4(2).