多元样条、多元弱样条及分片代数簇是本文的主要研究对象。它们在函数逼近、计算几何、有限元以及代数几何等领域都占有重要的地位，同时具有广泛的应用。本文的第二章和第三章属于多元样条范畴；第四章和第五章属于多元弱样条范畴，最后一章属于分片代数簇范畴。在第二章中，我们主要研究了一种星型贯穿剖分上的多元样条整体协调方程组所对应的素模的生成基的计算方法。1975年，王仁宏采用函数论和代数几何的方法，提出了研究多元样条的“光滑余因子协调法”，建立了任意剖分下多元样条函数的基本理论框架。从这种观点出发，多元样条函数的任何问题可以通过整体协调条件转化为一个与之等价的代数问题来研究，整体协调条件影响和最终决定了多元样条函数。整体协调条件可以看作一个以各内网线上光滑余因子为未知数的有着多项式系数的代数方程组，而这个代数方程组的所有解构成了多项式环R[x，y]上的素模。所以整体协调条件的求解问题等价于一个多项式环上的素模求解问题。我们研究了星型贯穿剖分上的多元样条整体协调方程组所对应的素模的生成基的计算方法，所得结果可以应用到求解各类贯穿剖分上的多元样条函数空间的维数、基底和插值等问题。在第三章中，我们研究了一种特殊的多元二次样条函数空间S₂^1，0（◇）。在这里剖分◇就是由一个正则四边形剖分按照第四型Powell-Sabin细分格式加细而得到的一种剖分。对于任意的样条s∈S₂^1，0（◇），样条s的分片次数是二次，且在剖分◇上的绝大部分网线上是一阶连续的，而在其他剩余的少部分网线上是0阶连续的。我们求出了这个多元二次样条函数空间的维数，研究了基样条函数的显式表达式；同时构造了两个拟插值算子，讨论了它们的逼近性质，并提供了一些数值实验结果来验证这些逼近性质；最后我们还把此种多元样条和其他的多元样条做了一些比较。这样我们在一定程度上推广了Powell-Sabin细分格式的应用。在第四章中，我们研究了多元弱样条函数空间W_k^μ（I₁Δ）（其中k≥2μ+1）和W₂¹（I₁^*Δ）。多元弱样条以前的结果主要集中在贯穿剖分以及某些三角剖分上。在本章中，根据研究多元弱样条的“光滑余因子协调法”，采用逐步计算自由度的方法，避免了列出并求解巨大整体协调方程组的困难，解决了一般正则直线段剖分I₁Δ上的多元弱样条空间W_k^μ（I₁Δ）（其中k≥2μ+1）和满足某些条件的直线段剖分I₁^*Δ上的W₂¹（I₁^*Δ）的维数，并给出了一个构造基底的方法。我们首先根据一个适定的多元Hermit插值问题，求出了星型域st（v）上的弱样条函数空间W_k^μ（I₁st（v））（k≥2μ+1）的维数，构造了它的基底；紧接着我们利用星型域st（v）上的维数结果求出了一般直线段剖分上的多元弱样条函数空间W_k^μ（I₁Δ）（k≥2μ+1）的维数，并给出了一个构造基底的方法。由于多元二次弱样条的次数2和光滑度1很接近，我们只能求得满足一定条件的直线段剖分I₁^*Δ上的多元二次弱样条函数空间W₂¹（I₁^*Δ）的维数。在第五章中，我们讨论了多元弱样条函数空间和最小确定集之间的关系。在本章中，利用研究多元弱样条的“B网方法”，我们给出了任意三角剖分I₁Δ上的多元弱样条函数空间W_k^μ（I₁Δ）（其中k≥2μ+1）和W₂¹（I₁Δ）的最小确定集的构造方法，根据多元弱样条函数空间等于其最小确定集的基数的性质，从而求出了它们的维数。我们还讨论了最小确定集构造方法的理论基础以及由最小确定集里面的点所对应的对偶基的局部支集性质。在第六章中，我们研究了求两条给定的分片代数曲线交点的Groebner基方法以及分片代数簇和理想的对应关系。本章前半部分给出了求两条给定的分片代数曲线交点的Groebner基方法。在给定剖分流向后，引入截断符号参数，把每条分片代数曲线表示成整体函数的形式，求出它们在字典序下的Groebner基，并且在回代求解的过程中引入了区间算法，使得该方法数值稳定。我们给出的算例表明此算法是行之有效的。本章后半部分主要研究了区域D上关于剖分Δ的C^μ分片多项式环S^μ（Δ）里的理想的加、乘、交、除四种运算，以及分片代数簇和理想的对应关系。理清它们之间的关系对于深入研究分片代数簇是很有必要的。