相变伴随着人们生活每一天。生活中诸如水的凝固所对应的热力学相变是由热力学涨落引起的。研究由这些经典涨落造成的相变足以让人们明白许多物态变化过程中的奥妙之处,进而揭示更多有趣的道理。与此对应的,自然界还存在另一类相变：它们在量子涨落的驱动下发生。量子涨落指在特定系统中,一些量子算符的期望值永远具备一定的不确定度。在温度足够低的时候,实验上观测到的相变只可能由量子涨落引起,原因在于这时候量子涨落比经典涨落大很多,从而导致系统中由涨落造成的物理现象只可能由量子理论来解释。一个典型的量子相变例子即在高温超导现象中,通过调节系统中某一个元素的浓度,系统可以发生从磁态到超导态的突变。量子相变在凝聚态物理乃至其他许多领域都受到广泛重视。传统的相变可以用对称破缺理论刻画。后来人们发现在一些体系中可以发生不可能被对称破缺理论刻画的相变。在发生这些相变的系统里,有一大类就是存在拓扑序的系统。拓扑序有别于由对称性来保证不等于零的局部序,它是一种新型序参量。人们认为可以用因为把量子系统放在特殊拓扑面上而导致的基态简并度、量子数的分数化、拓扑纠缠熵等物理量来刻画拓扑序。在存在拓扑序的量子系统中,人们研究过大量的量子相变现象。其中,人们研究过一个系统从仅具备经典序而不具备拓扑序到一个拓扑有序态的量子相变。由于一个具备拓扑序的物态不存在局部序参量,而拓扑量子现象的研究尚处于一个有待发展完善的阶段,所以人们努力从多方面来研究涉及到拓扑相的相变发生时系统的性质。近年来,由加州理工学院A. Kitaev提出的一个定义在二维六角蜂窝状格子上的拓扑自旋模型引起了人们的注意。首先,该模型具备拓扑序而且可以有阿贝尔或者非阿贝尔任意子激发。其次,通过费米化该模型,人们可以严格求解出它的一个基态。该基态具备很多新奇的性质,例如,关联函数仅仅只在最紧邻格点之间不等于零、系统中隐含的一种序在一定的表象下极其类似于局部序参量等。另外,由于人们认为可能通过拓扑有序系统中的任意子来施行量子计算,所以在二维六角蜂窝状格子上的Kitaev自旋模型越发受到人们的重视。在量子相变的研究中,人们发现量子纠缠在相变的时候常常表现出各种奇特性质。由于很多具备量子相变的系统是强关联的,所以无法严格求解它们的基态。在研究量子纠缠在量子相变发生时的性质时,很多研究依赖于数值计算。例如,人们曾经通过数值计算惊奇地发现可以通过比较量子纠缠的解析性在系统的尺寸变化时所表现出来的走向趋势来寻找系统的临界点位置。后来,人们分别在不同的自旋系统和费米子系统中发现量子纠缠几乎总会在相变时表现出临界现象。但是,我们是否可以通过严格计算给出一个系统中量子纠缠在相变时表现出临界现象的必然关系呢?通过研究一个定义在二维六角蜂窝状格子上扩展的Kitaev自旋模型,我们发现可以找到这种必然关系。解析和数值计算分别表明,相变时系统的基态能是非解析的,同时,系统中的二体纠缠度也是非解析函数。重要的是,我们证明了这两个非解析性之间存在一个数量上的关系；我们给出了联系这种数量关系的中介：系统中的自旋-自旋关联函数。通过这个例子,我们似乎可以推测,任何量子相变的发生应该会伴随着一些量子纠缠的临界现象,因为系统基态能和量子纠缠存在一定的内在联系。在Kitaev类型的自旋模型中,人们发现它可以发生从有能隙的阿贝尔相到无能隙的相之间的相变、阿贝尔到非阿贝尔相之间的相变以及具备不同陈数的两个非阿贝尔相之间的相变。但是是否存在既不改变系统拓扑类而又是发生在两个阿贝尔区或者两个非阿贝尔区之间的相变呢?通过研究定义在三角-六角格子上的Kitaev自旋模型,我们发现它的基态中存在发生在两个陈数等于零的阿贝尔相区或者陈数等于1（-1）的两个非阿贝尔相区之间的相变。虽然这种新的相变不改变系统的拓扑类,但是我们的研究证明相变前后系统的波函数和涉及拓扑激发的算符（即正文中定义的块算符）的有效哈密顿量都改变了。进一步地,我们发现在相变的时候,系统中的关联函数表现出非解析性。这说明这种发生在同一个拓扑类的量子相变是由关联函数的非解析性造成的。