【摘 要】
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本课题主要涉及数学中的六个领域:环论,群论,半群论,图论,初等数论和组合数学.如此众多的交叉研究,使它不但具有趣味性和吸引力,而且也有相当的内在困难.有限交换环一直是代数学中的不可或缺的重要研究对象,它不仅内涵丰富,而且在众多数学分支（如:组合数学,有限几何和算法分析）以及工程科学（如:编码理论和序列设计）中有着重要的应用.特别是最近二三十年中,由于有限环在编码领域中研究越来越突出,使得对有限环的
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本课题主要涉及数学中的六个领域:环论,群论,半群论,图论,初等数论和组合数学.如此众多的交叉研究,使它不但具有趣味性和吸引力,而且也有相当的内在困难.有限交换环一直是代数学中的不可或缺的重要研究对象,它不仅内涵丰富,而且在众多数学分支（如:组合数学,有限几何和算法分析）以及工程科学（如:编码理论和序列设计）中有着重要的应用.特别是最近二三十年中,由于有限环在编码领域中研究越来越突出,使得对有限环的研究更加丰富.用图的性质研究代数结构是最近20年来才产生的一个新型研究领域,引发出了很多有趣的结果和问题.近五年,已成为国际上的一个热门研究领域.在本文的第一章中我们概述了零因子图发展的历史,本文的研究背景以及本文的主要结果.同时我们还给出了环论、半群与图论的一些基本的概念和结论.第二章中我们研究模n高斯整数环Zn[i]的素谱和零因子以及单位（可逆元）,这些结果对我们后面的研究是非常有用的.本章的主要结果已经在《广西师范学院学报》23（4）（2006）上发表.1801年,高斯给出了模n剩余类环Zn的单位群U（Zn）结构定理.在本文的第三章中,我们给出了模n高斯整数环Zn[i]的单位群u（Zn[i]）结构定理.本章的主要结果已经投到《数学研究与评论》.已经通过初审,审稿人的报告是非常肯定的.在第四章中我们研究了模n高斯整数环Zn[i]的零因子图的性质,包括直径、平面性、围长和中心集.得到了比较完整的结果.本章的主要结果近期将在《广西师范大学学报》发表（已接受）.前面第二、三、四章的内容在2006年第小届全国代数学术会议上报告,受到众多学者的好评与关注.在本文的第五章巾我们研究了一系列简单图的交换环和零因子半群.结果是极为丰富的.首先在5.2节中研究顶点数不超过4的连通简单图的交换零因子半群.给出了所有图的对应半群乘法表,从而确定了这些图的所有零因子半群结构.这节的主要内容已经投到《Algebra Colloquium》,已经通过初审,审稿人的报告是非常肯定的.在5.3节中我们完全确定了正多面体对应的零因子半群和对应的交换环.5.4节的主要结果是我们得到了计算完全图删除一条边的简单图Kn-e的零因子半群数目公式H（n）.利用计算机程序我们列出了n不大于100时H（n）的值.在5.5节中,我们证明了完全三部图添加一个端点的简单图Km,n,p+v没有对应环.当m,n,p≥2时,Km,n,p+v没有对应半群.当m,n,p中有一个为1时,Km,n,p+v有对应半群.我们确定了图Km,n,p+v的两种特殊情形的零因子半群.而且我们确定了当n=1,2,3时,图Km,n,p+v全部的零因子半群.在5.6节巾,我们给出了星图K1,n、双星图Tm,n以及风车图的对应零因子半群的数目公式.
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