随着科学技术日新月异的发展,数论也以其独特的方式展现出自己的风采,并由此滋生出许多分支.许多专家学者们前赴后继,奋战在各个分支的研究前线,通过他们不懈努力,数论正以其惊人的速度向前发展,而且已经在许多领域得到广泛的应用.特别受人关注的是对于一些数论函数的均值分布的研究以及整点问题的探讨如火如荼,而且对于一些包含数论函数的方程的精确解的研究又掀起了一轮新的爱好者的研究浪潮.本文主要研究了数论中的一些和式的算术性质.这些和式包含经典的不完整区间上的Dirichlet特征和函数,Gauss和函数,以及Dirichlet L-函数.此外,还研究了包含Smarandache函数的方程的正整数解问题以及椭圆曲线的整点问题.具体来说,本文主要包括以下几个方面的结果：1.讨论了包含Smarandache函数的函数方程的正整数解的分布情况,并且具体地求出了它的精确解.2.给出了一种椭圆曲线的所有整点.3.给出了广义二次Gauss的两个渐近公式.4.利用解析和初等的方法获得了Dirichlet特征和函数在短区间上的四次均值的渐近公式.