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近年来，环扩张在研究环与模的工作中受到广泛的关注，并得到了许多很好的结果．我们这里考虑的是交叉积和分次环这两类扩张．全素环的概念是由W.D.Blair和H.Tsutsui于1994年提出的，他们刻画了全素环的结构并讨论了当被转移到相关环时，全素条件的变化情况。在第一章，我们考虑的相关环是交叉积和群分次环。在1．2节我们首先研究群G为有限时交叉积的全素条件，简记全素环为FPR，给出了交叉积是FPR的一些充分必要条件，例如定理1．2．1设置是FPR，G是一个有限群，是一个交叉积，则交叉积是FPR当且仅当映射是一个从的理想集到R的理想集的双射。定理1．2．2设R是环，G是一个有限群，是—个交叉积，则下述陈述等价：(i)交叉积是FPR；(ii)(a)R是G-FPR；(b)映射是一个从的理想集到R的G-不变理想集的双射。在1996年，H.Tsutsui引进并刻画了几乎全素环(简记为AFPR)。