【摘 要】
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整数序列的完备性是数论中一个重要的研究课题.对于非负整数序列A,定义P（A）为可表示成A中不同项之和的所有整数组成的集合.若P（A）能包含所有充分大的整数,则称序列A是完备的.对α∈R+及正整数序列S={s1,s2,…},令Sα=<[αs1],[αs2],…},其中[x]表示不超过实数x的最大整数.序列Sα可以看成是S的扰动序列.对于非负整数序列A,若每一个充分大的整数都可以表示成A中至多r个元素
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整数序列的完备性是数论中一个重要的研究课题.对于非负整数序列A,定义P（A）为可表示成A中不同项之和的所有整数组成的集合.若P（A）能包含所有充分大的整数,则称序列A是完备的.对α∈R+及正整数序列S={s1,s2,…},令Sα=<[αs1],[αs2],…},其中[x]表示不超过实数x的最大整数.序列Sα可以看成是S的扰动序列.对于非负整数序列A,若每一个充分大的整数都可以表示成A中至多r个元素之和,则称A是r阶渐近基.Hegyvari研究了Qα={[αn2]|n∈Z+}的完备性,给出了扰动序列Qα为渐近基的充要条件,同时给出了Qα中元素均为2或3的倍数时α的具体结构.基于Hegyvari的第二个研究结果,方金辉和方志恺研究扰动序列Pα={[αn（n+1）/2]n∈Z+}并得到了类似结论.前人的研究均是对于n的特殊二次函数,本文从一般的一次函数入手,采用全新的证明方法,借助于逼近理论中的稠密性定理,研究了扰动序列Tα=<[α（an+b）]| n∈Z+}的性质.我们给出了Tα中元素均为素数p的倍数的充要条件:对实数α,a,b及素数p,Tα中元素均为p的倍数当且仅当αa为整数,p|αa且p|[αb].对于正实数x和集合S（?）N,其中N是非负整数集.记S（x）表示不超过x的元素n的个数,（?）表示S的上密度.若对任意a,b∈S均有a-b（?）M,则称非负整数集S为M-集.给定正整数集M,定义（?）.Cantor和Gordon研究了|M|=1或2时μ（M）的值.当|M|=3时,μ（M）的值目前尚未完全解决.在前人的研究基础之上,本文研究最优M-集.对最优M-集的研究是一个新的研究课题,该问题比μ（M）的求值问题要难.若S（?）[0,n]是具有最大基数的M-集,则称集合S为[0,n]的一个最大M-集.设S是一个无限集,对任意整数n≥0,若S∩[0,n]为[0,n]的一个最大M-集,则称S为最优M-集.本文我们给出了|M|≤2时最优M-集存在的充要条件:（i）对任意|M|=1的集合M都存在最优M-集;（ⅱ）对|M|=2的集合M,设M={m1,m2},其中m1<m2,令gcd（m1,m2）=d,当且仅当m1|m2或者m2=km1±d,其中k为奇数时存在最优M-集.
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