本文考虑下面的半线性椭圆方程：{-△u+u=Q(x)|u|p-2u，x∈Ω，u＞0，x∈Ω，(1）u=0，x∈аΩ，正解的存在性与多解性，其中Ω是RN中的带光滑边界的无界区域，RN(Ω)有界，方程中的指数p∈(2，2*)，这里2*=2N/N-2当N≥3；2*=+∞当N=1，2。位势Q(x)∈C(RN，R+)，而且在无穷远处一致的趋于某个正数Q∞*。　　 我们首先考虑了Ω=RN的情形，此时方程(1)就是著名的Shr(o)dinger方程。至今已有一些文章给出了这一类Shr(o)dinger方程存在正解的特殊位势条件。本文致力于给出方程(1)正解存在的结构性条件。我们借助的是方程的约化泛函的几何结构，而非能量泛函。具体来讲，对u∈IP(RN)，令(u)(x)=∫B1(x)|u(s)|ds以及定义连续型重心映射m:(RN){0}→RN如下记约化泛函为它是从RN到R的函数。　　 本文主要结果如下定理1.设Ω=RN，如果约化泛函Ja在RN中有界开集Λ内有局部极小结构，那么方程(1)至少有一个正解。定理2.设Ω=RN，如果约化泛函Ja在RN中有界开集Λ内有局部鞍点结构，那么方程(1)至少有一个正解。　　 接着我们考虑了Ω是RN中外部定义域的情况，即RN(Ω)非空有界。而且要求RN(Ω)离原点足够远，尺寸足够大。特别的，方程(1)可变为{-△u+u=Q(x)|u|p-2u，x∈Ωε，u＞0，x∈Ωε，(2）u=0，x∈аΩε，其中ε＞0，Ωε：={x∈RN|εx∈Ω}.本文假设0∈Ω，它可导致当ε→0时位势的图像和定义域的拓扑能独立的在约化泛函上产生作用效果。位势函数Q(x)满足：(Q1)Q∈C(RN，R+)，常数Q∞:=lim|x|→∞Q(x)＞0，Q∞≥Q(x)且(Q2)存在常数C＞0，R0＞0和θ＞2满足Q(x)≥Q∞-Ce-θ|x|，(A)|x|≥R0.于是得到下列结果定理3.如果0∈Ω且条件(Q1)成立，那么存在ε1＞0使得对任何ε∈(0，ε1)方程(2)有至少一个正解。定理4.如果0∈Ω且条件(Q1)-(Q2)成立，那么存在ε0＞0使得对任何ε∈(0，ε0)方程(2)有至少三个正解。