本文主要是为Galerkin的无网格方法设计高效的数值积分策略。我们考虑了三类二阶线性椭圆偏微分方程模型：pure Neumann边值问题、本质边界条件的问题、一般的非常系数的椭圆方程。我们分别为每一个模型发展无网格方法、设计适当的数值积分公式，并分析了由数值积分格式获得的近似解对真解的逼近误差。 无网格方法起源于上个世纪七十年代，从九十年代初期开始了大量的研究。该方法的动机是为了舒缓通常的网格方法(例如有限元)用于求解一些复杂的工程问题(如裂纹传播问题、大变形问题等)时划分空间网格的沉重负担。从这类方法诞生的初期，人们便意识到了(刚性矩阵、质量矩阵、承载向量的元素的)数值积分严重地阻碍Galerkin无网格方法的有效运用。不充分的数值积分甚至可以导致方法的失败。尽管工程界进行了很多的努力来处理这个问题，然而对于它的精确的理解仍然是很缺乏的，工程师们经常用“过度的积分”，计算代价相当昂贵。同时，鲜有系统的理论(数学)分析来研究这个问题。因此，数学上考察数值积分对无网格方法的影响并在此基础上设计可靠的积分公式是这类方法成功的关键。 在这篇论文中，我们提出了无网格方法中的数值积分需要满足的三个条件，其中之一是由Green公式得到的启示，它将在本文的所有分析中发挥中心的作用。这个条件指出，当Green公式的两端的积分项被数值地计算时，等式依然可以对一些特定的光滑函数类成立。我们同样给出了满足这个条件的算法，我们称之为积分校正原则。我们提及一些标准的积分公式并不满足这个条件，例如高斯积分。 对于文中考虑的每个模型问题，我们都从数学上分析了带有数值积分格式的无网格方法的逼近性。这些分析是建立在所谓的Strang引理的基础上的，该引理允许我们将误差划分为两部分——逼近误差和数值积分导致的“扰动”误差，其中扰动误差可以被文中的积分算法控制，即误差不会放大。而且依据离散化参数h适当地选择数值积分公式，我们可以获得计算的近似解的最佳逼近阶。这个现象是完全不同于标准的有限元方法的。在有限元方法中，为了得到最佳的逼近阶，数值积分公式不必依赖于h。这是消除网格所付出的代价。 需要强调的是，对于上面提到每种模型问题我们都需要为其考虑适当的变分形式，从而对应了不同的Galerkin无网格方法。例如，(a)在pure Neumann的情形，我们用基于Lagrange乘子的变分公式；(b)对于带有本质边界条件的问题，我们用一个扰动的变分问题，即所谓的非对称的Nitsches方法；(c)通常的变分公式被用于一般的、带有非常系数的椭圆方程。结果的每种无网格方法在精确积分和数值积分的情形下的数学分析在相应的章节中被研究。