图论中关于图的生成树数目的研究有很长的历史.它在众多领域,例如,网络的可靠性分析,物理学上电路的设计等有广泛的实际应用[6,10,14].因此,研究图的生成树数目及其渐近性质有重要的理论和实际意义.近年来无向循环图倍受关注[2,8,13,27,28],本文致力于研究这类图的生成树数目及其渐近性质.针对一类特殊的循环图,本文主要讨论它的生成树数目与其参数之间的关系式,并深入探讨了它的生成树数目的整体性质.首先,本文推导了上述循环图的生成树数目简单精确的计算公式,实现了由图的一些简单参数便可以直接求得其生成树数目,改进了计算循环图的生成树数目的方法.其次,分析了生成树数目的渐近性质,给出了生成树数目的渐近值的计算公式,其中为整数,,表示最小公倍数.这一渐近值表示生成树数目的平均增长率[13].由此可以精确计算出这类循环图的生成树数目的平均增长率,克服了之前公式不易直接计算得到精确值的缺点,在很大程度上简化了计算,便于实际的应用.最后,讨论了生成树数目的渐近值的最值问题,证明了此渐近值具有单调递增性质,进一步刻画了该类循环图的生成树数目平均增长率的性质,具有一定的理论和实际应用价值.