【摘 要】
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双调和方程边值问题的研究是椭圆型方程边值问题研究的热点之一.利用变分方法对双调和方程在不同非线性项的情况下,研究其高能解、非平凡解和变号解的存在性、多解性以及特征值问题成为非线性分析在非线性偏微分方程研究中的前沿课题之一.本文利用变分法对下列四阶非线性椭圆方程(即双调和方程)解的存在性展开讨论:(?)其中,N≥5,Δ2是双调和算子,V(x)是奇异位势,且f∈C(RN×R,R).具体研究内容阐述如下
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双调和方程边值问题的研究是椭圆型方程边值问题研究的热点之一.利用变分方法对双调和方程在不同非线性项的情况下,研究其高能解、非平凡解和变号解的存在性、多解性以及特征值问题成为非线性分析在非线性偏微分方程研究中的前沿课题之一.本文利用变分法对下列四阶非线性椭圆方程(即双调和方程)解的存在性展开讨论:(?)其中,N≥5,Δ~2是双调和算子,V(x)是奇异位势,且f∈C(R~N×R,R).具体研究内容阐述如下:本文第二章主要考虑在整个空间R~N(N≥5)上,在假设非线性项f满足更弱的条件下,通过临界点理论中的Morse理论结合局部环绕的方法证明问题至少存在一个非平凡解.随后利用隐函数构造强形变收缩核结合Hardy-Rellich不等式证明能量泛函满足对称山路引理,从而证明问题非平凡解的多重性.本文第三章是基于第二章进一步探讨和分析问题的解,利用下降流不变集的性质探讨非平凡解的符号,得到问题的正解、负解以及变号解的存在性,这些结果的获取是对已有一些文献中的结果有效的扩展和补充.
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