分数阶微积分是整数阶微积分的推广.与整数阶微分方程相较而言,分数阶微分方程具有记忆性和局部性,能更好地描述一些具有记忆效应的过程.因此,分数阶微分方程在材料学、工程学、生物医学等领域有着广泛应用.目前,分数阶微分方程因其广阔的应用背景而成为科学研究热点之一.获取分数阶微分方程的数值解对于研究方程所描述的模型具有非常重要的价值.由于分数阶微分方程的复杂性和特殊性,求解整数阶微分方程的数值方法不再适用于研究分数阶微分方程.因此,许多学者致力于研究分数阶微分方程的数值方法.目前常用的数值方法主要有:配置法、小波法、有限差分法和有限元法等.本文基于可替代勒让德多项式(Alternative Legendre Polynomials以下简称ALPs),提出一类分数阶微分方程的数值计算方法.首先,利用ALPs的性质得到分数阶微分方程的运算矩阵,然后将分数阶微分方程转化为代数系统,最后通过求解该代数系统可得原方程的数值解.本文利用这种ALPs法求解了分数阶比例时滞微分方程、分数阶中立型比例时滞微分方程、分数阶积分微分方程及分数阶Volterra积分微分方程组.具体内容如下:第一章,介绍了分数阶微分方程的研究背景与现状,并简要概括了本文的主要内容.第二章给出了分数阶微积分的一些概念及ALPs的定义等预备知识.第三章,首先利用ALPs法求解了分数阶比例时滞微分方程,并给出了误差分析.数值实例结果表明该方法可以较方便地获得精度较高的数值解.其次,利用ALPs法求解了分数阶中立型比例时滞微分方程,并通过数值实例说明ALPs法求解此类方程的可行性.第四章,利用ALPs法求解了分数阶积分微分方程.在数值实验中,除了和其他方法比较绝对误差外,还比较了在某些点处的误差,结果表明了方法的可行性和精确性.与前两章考虑单个方程不同的是第五章提出了基于正交多项式ALPs求解分数阶Volterra积分微分方程组的数值方法.通过数值实验说明所提出方法用来求解分数阶Volterra积分微分方程组的可行性.第六章对本文内容进行了全面的总结.