随着科学技术的发展,多媒体、计算机网络及通信技术等已经和人们的日常工作与生活息息相关。人们经常需要存储、分析与处理规模更大、维度更高、结构更复杂的数据。如何从被噪声污染或部分元素丢失的观测图像或数据中恢复其本身具有的结构,已成为图像处理、模式识别、计算机视觉、机器学习及数据挖掘等领域的研究热点。近年来,低秩矩阵重构作为传统稀疏表示在矩阵低秩情形下的推广,已经成为一种新的高维数据分析工具,受到众多研究人员的关注。其中较为典型的重构模型可分为两类:一类是当观测数据矩阵本身具有低秩结构(却受到噪声的污染)或近似低秩结构,为了恢复或探索其低秩结构,将观测数据矩阵分解成低秩矩阵和稀疏矩阵之和,即低秩稀疏矩阵分解;另一类是当观测数据矩阵含缺失元素,通过其本身固有的低秩结构,实现对缺失元素的补全,即矩阵填充。然而,上述两类模型,在实际应用中都还有不足之处,有待进一步改进。首先,传统的低秩矩阵重构模型主要针对具有较低秩结构的矩阵,当矩阵秩较高或结构较复杂时,便很难达到预期效果;其次,传统的低秩矩阵重构,主要针对单矩阵重构,为了解决实际问题,往往需要把很多小矩阵分别拉成列向量,并构造大矩阵,进而应用低秩矩阵重构模型,不仅导致计算量大,而且容易破坏数据原有的二维结构;最后,当前主流的重构算法大都采用迭代法,且每次迭代过程中常常伴有矩阵的奇异值分解,当矩阵较大时,算法复杂度较高。为了解决上述问题,本文主要围绕图像恢复问题,开展低秩矩阵重构模型改进及求解算法的设计与分析研究,主要工作归纳如下:1、提出了两种面向图像恢复的低秩矩阵分解模型及其求解算法(1)结合TV范数能够增强图像或矩阵局部区域光滑性的特点,提出了结构光滑加权低秩矩阵恢复模型,该模型将加权低秩矩阵恢复模型和TV范数结合,前者用于捕捉矩阵行或列的相关性,即低秩结构,后者用于强化矩阵的局部光滑结构。同传统的低秩矩阵恢复模型一样,l1范数用于度量稀疏大噪声的浓度。此外,为了使模型效果更好,根据图像中灰度值取值区间为[0, 255],进而在算法求解的过程中对每个像素点的取值范围以该区间加以约束。最后,为了求解该优化问题,提出了基于非精确拉格朗日乘子法的求解算法及权重更新算法。实验结果显示,所提出的结构光滑加权低秩矩阵恢复算法不仅得到了较小的重构误差,而且对稀疏大噪声及线带噪声具有较好的鲁棒性。(2)受光滑秩函数低秩矩阵填充算法的启发,提出一种新的基于光滑且可微秩函数和l0范数的低秩矩阵分解方法。由于目标函数均是光滑函数,因此可以将梯度下降法应用于所提出模型的优化问题求解,并从理论上给出了算法的收敛性分析。实验结果显示,所提出的基于光滑函数的低秩稀疏矩阵分解算法,具有很好的图像恢复性能。特别是对高斯噪声、以及高斯和椒盐混合噪声具有较好的恢复效果。2、提出了面向图像恢复的多矩阵鲁棒广义低秩稀疏分解模型及其求解算法传统的广义低秩矩阵近似方法主要聚焦在最小化重构误差上,却没有考虑近似矩阵的秩对结果的影响。然而,近似矩阵的秩与输出图像的细节是密切相关的。一般来说,矩阵秩越高,其所保留的细节就越多。稀疏大噪声往往对应着图像的细节特征,近似矩阵的秩最小化应当在广义低秩矩阵近似的优化模型中给予考虑,从而达到去除稀疏大噪声的目的。因此,提出一种新的多矩阵鲁棒广义低秩稀疏分解模型。该模型将矩阵秩最小化融入原有的广义低秩矩阵模型,并将非精确拉格朗日乘子法扩展到该问题的求解。实验结果表明,该模型对稀疏大噪声有较好的鲁棒性。3、提出了两种面向图像恢复的低秩矩阵填充模型及其求解算法(1)就现有的低秩矩阵填充算法耗时长等问题,结合矩阵三因子分解,提出一种基于光滑秩函数的快速矩阵填充算法。该算法运用矩阵三因子近似分解去代替原始矩阵,并结合投影梯度法实现矩阵填充问题的求解。由于可以在投影得到的子空间中进行矩阵奇异值分解,从而大大降低每次循环的时间,较好地提升了算法的速度。此外,通过恰当的秩估计,提出了一种秩自适应的快速光滑函数矩阵填充算法。实验结果显示,相比于传统的矩阵填充算法,所提出的算法具有较快的速度,而且大多数情况下,具有较好的填充精度。(2)针对原子分解低秩近似填充算法需要已知待填充矩阵秩的不足,提出一种秩自适应的原子分解低秩矩阵填充算法,该方法通过双重阈值,有效的解决待填充矩阵秩未知的问题。此外,为了确保算法的速度及重构精度,该算法在秩逼近的过程中采用先大步后小步的方式,直至迭代终止。实验结果显示,所提出的矩阵填充算法能够很好的估计待填充矩阵的秩,且具有较好的填充精度。