本文的内容是延续三角级数收敛性研究课题中的单调性条件推广的思路与方法.结合函数逼近论中的最佳逼近研究不同条件下正弦级数的收敛速度.并且把正弦级数可积性研究中提出的对数有界变差条件推广到了重级数.三角级数单调性的研究最初由Chaundy和Jollife等人讨论一致收敛与平均收敛的问题时提出的.接着一些数学家推广了单调性中递减条件,其中包括拟单调,剩余有界变差,分组有界变差,非单边有界变差,最后在系数为非负情况下最终的结果为均值有界变差条件.随着这些条件的形成,三角级数一致收敛,Fourier级数的L1收敛性,Fourier级数的Lp可积性,Fourier系数与最佳逼近的关系,强逼近等做出了很多结果,其中匈牙利数学家Leindler在他提出的剩余有界变差条件中得到了正弦级数的最佳逼近的收敛速度,本文在强均值有界变差条件下继续研究正弦级数的最佳逼近收敛速度.本文还研究系数不一定为非负时即条件为分段有界变差条件时的正弦级数的最佳逼近收敛速度.最后结合对数有界变差条件和Moricz的定理得到了重级数的收敛性.本文可以分为五章：第一章为绪论,介绍本文研究内容背景与国内外的研究现状,及本文内容中的相关条件和相关符号的定义.第二章为强均值条件下的正弦级数的最佳逼近的收敛速度. Leindler在剩余有界变差条件下得到了正弦级数的最佳逼近与三角级数系数的关系.随着单调性条件的发展到非单边有界变差条件，梅颖-韦宝荣把上面的定理推广到了该条件.得到相同的定理.最终,在均值有界变差条件下，人们也研究了正弦级数的最佳逼近的收敛速度,但是就结果来说不是完美的,由均值有界变差条件定义可以看出.在连续函数空间研究Fourier系数与最佳逼近系数关系时,也有类似的麻烦,于是提出了强均值有界变差条件,这个比均值条件弱,就全部解决了所有问题.本文就在这个条件下,推广了Leindler定理.上面所研究的前提条件是所有系数必须要为非负的,人们就考虑非负条件能否取消,即使不能全部取消，相应较弱化的条件是什么?Zhou就研究出分段有界变差条件.在这个条件下,所有系数不一定全是非负的,只要在所定义的每段中符号相同.第三章内容是在这个条件下研究正弦级数的最佳逼近的收敛速度，得到了最佳逼近与系数之间的关系.第四章推广了Moricz的一个定理.在研究正弦级数L1收敛时，人们至少需要一个先决条件,即这个级数要可积的.我们知道积分计算具有一定的复杂性和艰巨性,所以人们就青睐于没有可积条件情形下的研究.最初的结果为Boas-Hoywood的单调性结论，随后Moricz把这个结论推广到了重级数.最近,Zhou提出对数有界变差条件,使收敛性取得了突破性的进展.在此基础上把对数有界变差条件推广到了重级数上.第五章是对本文的总结,讨论了本文完成的工作,并且对与后面需要更进一步推进的研究提出一些看法.